8.Calcule o limite ou determine se não existe lim _((x,y)arrow (0,0))((x+x^2)y)/(x^2)+x^(4+y^2)

Para calcular o limite da função dada quando $(x,y)$ se aproxima de $(0,0)$, podemos usar a forma polar dos coordenados. Vamos substituir $x$ por $r\cos(\theta)$ e $y$ por $r\sin(\theta)$, onde $r$ é a distância radial e $\theta$ é o ângulo em radianos.<br /><br />Aplicando a substituição, temos:<br /><br />$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac {(x+x^{2})y}{x^{2}+x^{4}+y^{2}} = \lim _{(r,\theta)\rightarrow (0,0)}\frac {(r\cos(\theta)+r^{2}\cos^{2}(\theta))r\sin(\theta)}{r^{2}\cos^{2}(\theta)+r^{4}\cos^{2}(\theta)+r^{2}\sin^{2}(\theta)}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$\lim _{(r,\theta)\rightarrow (0,0)}\frac {r^{2}\cos(\theta)\sin(\theta)+r^{3}\cos^{2}(\theta)\sin(\theta)}{r^{2}(\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta))+r^{4}\cos^{2}(\theta)}$<br /><br />Como $\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta) = 1$, a expressão fica:<br /><br />$\lim _{(r,\theta)\rightarrow (0,0)}\frac {r^{2}\cos(\theta)\sin(\theta)+r^{3}\cos^{2}(\theta)\sin(\theta)}{1+r^{4}\cos^{2}(\theta)}$<br /><br />Agora, podemos calcular o limite dividindo o numerador e o denominador por $r^{2}$:<br /><br />$\lim _{(r,\theta)\rightarrow (0,0)}\frac {\cos(\theta)\sin(\theta)+r\cos^{2}(\theta)\sin(\theta)}{\frac{1}{r^{2}}+r^{2}\cos^{2}(\theta)}$<br /><br />Quando $r$ se aproxima de zero, o termo $r\cos^{2}(\theta)\sin(\theta)$ se aproxima de zero, então o limite fica:<br /><br />$\lim _{(r,\theta)\rightarrow (0,0)}\frac {\cos(\theta)\sin(\theta)}{\frac{1}{r^{2}}+r^{2}\cos^{2}(\theta)}$<br /><br />Para $\theta = 0$, temos $\cos(\theta) = 1$ e $\sin(\theta) = 0$, então o numerador fica zero. Para qualquer outro valor de $\theta$, o numerador é diferente de zero, mas o denominador se aproxima de um valor positivo ou negativo dependendo do valor de $r$. Portanto, o limite não existe para valores diferentes de $\theta = 0$.<br /><br />Portanto, o limite da função dada quando $(x,y)$ se aproxima de $(0,0)$ é indeterminado para valores diferentes de $\theta = 0$.