2. (Mackenzie ) Numa progressão aritmética de termos, a_(2)=10 e a_(99)=90 . A soma de todos os termos é: a) 10.00 o b) 9.000 C) 4.500 d) 5.000 e) 7.500 e) 6

Para encontrar a soma de todos os termos de uma progressão aritmética, podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA:<br /><br />\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \]<br /><br />Onde:<br />- \( S_n \) é a soma dos primeiros \( n \) termos da PA.<br />- \( n \) é o número de termos.<br />- \( a_1 \) é o primeiro termo da PA.<br />- \( a_n \) é o último termo da PA.<br /><br />No caso dado, temos que \( a_2 = 10 \) e \( a_{99} = 90 \). Precisamos encontrar o primeiro termo \( a_1 \) e o número de termos \( n \).<br /><br />Podemos usar a fórmula do termo geral de uma PA para encontrar \( a_1 \):<br /><br />\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]<br /><br />Onde \( d \) é a razão comum entre os termos da PA.<br /><br />Substituindo os valores conhecidos:<br /><br />\[ 90 = a_1 + (99 - 1)d \]<br />\[ 90 = a_1 + 98d \]<br /><br />Também sabemos que:<br /><br />\[ 10 = a_1 + (2 - 1)d \]<br />\[ 10 = a_1 + d \]<br /><br />Agora podemos resolver o sistema de equações:<br /><br />\[ 10 = a_1 + d \]<br />\[ 90 = a_1 + 98d \]<br /><br />Subtraindo a primeira equação da segunda:<br /><br />\[ 90 - 10 = (a_1 + 98d) - (a_1 + d) \]<br />\[ 80 = 97d \]<br />\[ d = \frac{80}{97} \]<br /><br />Agora substituindo \( d \) na primeira equação:<br /><br />\[ 10 = a_1 + \frac{80}{97} \]<br />\[ a_1 = 10 - \frac{80}{97} \]<br />\[ a_1 = \frac{970 - 80}{97} \]<br />\[ a_1 = \frac{890}{97} \]<br /><br />Agora podemos calcular a soma dos termos:<br /><br />\[ S_{99} = \frac{99}{2} \left( \frac{890}{97} + 90 \right) \]<br />\[ S_{99} = \frac{99}{2} \left( \frac{890 + 90 \cdot 97}{97} \right) \]<br />\[ S_{99} = \frac{99}{2} \left( \frac{890 + 8710}{97} \right) \]<br />\[ S_{99} = \frac{99}{2} \left( \frac{9600}{97} \right) \]<br />\[ S_{99} = \frac{99 \cdot 9600}{2 \cdot 97} \]<br />\[ S_{99} = \frac{940800}{194} \]<br />\[ S_{99} = 4856 \]<br /><br />Portanto, a soma de todos os termos é 4856. Nenhuma das opções fornecidas está correta.