QUESTÃO 4 (2 PONTOS): Deixando cair areia a uma taxa de 45cm^3/min forma-se um cone cujo diâmetro da base é sempre igual à sua altura.Determine a ve- locidade com que o diâmetro aumenta quando a altura do cone é de 9cm.

Para resolver essa questão, vamos usar o conceito de derivadas e a relação entre o volume de um cone e seu diâmetro.<br /><br />Sabemos que o volume de um cone é dado por:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]<br /><br />onde \( r \) é o raio da base e \( h \) é a altura do cone.<br /><br />Dado que o diâmetro da base é sempre igual à altura, temos \( d = 2r = h \). Substituindo \( r \) em termos de \( h \), temos \( r = \frac{h}{2} \).<br /><br />Substituindo \( r \) na fórmula do volume, obtemos:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{1}{12} \pi h^3 \]<br /><br />A taxa de variação do volume em relação ao tempo é dada por:<br /><br />\[ \frac{dV}{dt} = 45 \, \text{cm}^3/\text{min} \]<br /><br />Queremos encontrar a taxa de variação do diâmetro em relação ao tempo, ou seja, \( \frac{dd}{dt} \).<br /><br />Primeiro, derivamos a equação do volume em relação ao tempo:<br /><br />\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{12} \pi h^3 \right) = 45 \]<br /><br />\[ \frac{1}{4} \pi h^2 \frac{dh}{dt} = 45 \]<br /><br />Agora, substituímos \( h = 9 \) cm na equação:<br /><br />\[ \frac{1}{4} \pi (9)^2 \frac{dh}{dt} = 45 \]<br /><br />\[ \frac{81}{4} \pi \frac{dh}{dt} = 45 \]<br /><br />\[ \frac{dh}{dt} = \frac{45 \cdot 4}{81 \pi} \]<br /><br />\[ \frac{dh}{dt} = \frac{20}{9 \pi} \]<br /><br />Como o diâmetro \( d = 2r = h \), a taxa de variação do diâmetro em relação ao tempo é a mesma que a taxa de variação da altura:<br /><br />\[ \frac{dd}{dt} = \frac{dh}{dt} = \frac{20}{9 \pi} \]<br /><br />Portanto, a velocidade com que o diâmetro aumenta quando a altura do cone é de 9 cm é \( \frac{20}{9 \pi} \, \text{cm/min} \).