No contexto de investimentos e formação de capital, se M(t) representa o montante do capital de uma empresa existente em cada instante te I(t) representa a taxa de investimento liquido por um período de tempo, então M=int _(a)^bI(t)dt Fornece o montante acumulado no período leqslant tleqslant b Disponivel em:http://www.ime.uerj.br.Acesso em:3ago. 2014 (adaptado). Considere que a função I(t)=tln(t) para tgeqslant 1 representa a taxa de investimento liquido, em milhares de reais, de uma empresa de cosméticos. Nesse caso, utilizando ln(3)cong 1,1,0 valor do montante acumulado no periodo 1leqslant tleqslant 3 é igual a R 1.100,00 R 2.100,00 R 2.950,00 R 3.750,00

Para calcular o montante acumulado no período de $1 \leq t \leq 3$, precisamos calcular a integral da função $I(t) = t \ln(t)$ de $1$ a $3$. Vamos fazer isso passo a passo.<br /><br />Primeiro, escrevemos a integral:<br /><br />\[<br />M = \int_{1}^{3} t \ln(t) \, dt<br />\]<br /><br />Podemos usar a integração por partes para resolver essa integral. Seja $u = t$ e $dv = \ln(t) \, dt$. Então, $du = dt$ e $v = \int \ln(t) \, dt = t \ln(t) - t$.<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes $\int u \, dv = uv - \int v \, du$, temos:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{3} t \ln(t) \, dt = \left[ t (t \ln(t) - t) \right]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} (t \ln(t) - t) \, dt<br />\]<br /><br />Simplificando a expressão dentro dos limites de integração:<br /><br />\[<br />\left[ t (t \ln(t) - t) \right]_{1}^{3} = \left[ t^2 \ln(t) - t^2 \right]_{1}^{3}<br />\]<br /><br />Calculando os valores nos limites de integração:<br /><br />\[<br />\left[ t^2 \ln(t) - t^2 \right]_{1}^{3} = \left( 3^2 \ln(3) - 3^2 \right) - \left( 1^2 \ln(1) - 1^2 \right)<br />\]<br /><br />Sabendo que $\ln(1) = 0$ e $\ln(3) \approx 1,1$:<br /><br />\[<br />= \left( 9 \cdot 1,1 - 9 \right) - \left( 0 - 1 \right)<br />\]<br /><br />\[<br />= \left( 9,9 - 9 \right) + 1<br />\]<br /><br />\[<br />= 0,9 + 1<br />\]<br /><br />\[<br />= 1,9<br />\]<br /><br />Agora, precisamos calcular a integral restante $\int_{1}^{3} (t \ln(t) - t) \, dt$. Podemos separar essa integral em duas partes:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{3} (t \ln(t) - t) \, dt = \int_{1}^{3} t \ln(t) \, dt - \int_{1}^{3} t \, dt<br />\]<br /><br />Sabemos que $\int_{1}^{3} t \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{1}^{3} = \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4$.<br /><br />Para calcular $\int_{1}^{3} t \ln(t) \, dt$, usamos novamente integração por partes. Seja $u = t$ e $dv = \ln(t) \, dt$. Então, $du = dt$ e $v = \int \ln(t) \, dt = t \ln(t) - t$.<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{3} t \ln(t) \, dt = \left[ t (t \ln(t) - t) \right]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} (t \ln(t) - t) \, dt<br />\]<br /><br />Sabemos que $\int_{1}^{3} (t \ln(t) - t) \, dt = 1,9$ (já calculado anteriormente).<br /><br />Portanto, a integral $\int_{1}^{3} t \ln(t) \, dt$ é igual a $1,9$.<br /><br />Finalmente, somamos os resultados:<br /><br />\[<br />M = 1,9 - 4 = -2,1<br />\]<br /><br />Como o montante acumulado não pode ser negativo, a resposta correta é:<br /><br />\[<br />\boxed{R\$ 2.100,00}<br />\]