alcule o volume do sólido obtido pela rotação da regia =e^-x^(2),y=0,x=-1,x=1 em torno de y=-1

Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região dada em torno de \( y = -1 \), podemos usar o método dos discos ou anéis. Vamos usar o método dos anéis.<br /><br />A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:<br /><br />\[ V = \pi \int_{a}^{b} () - r(x))^2 \, dx \]<br /><br />Onde:<br />- \( R(x) \) é a distância da curva \( y = e^{-x^2} \) até a linha \( y = -1 \).<br />- \( r(x) \) é a distância da curva \( y = -1 \) até a linha \( y = -1 \) (que é zero).<br /><br />Para \( R(x) \), a distância entre \( y = e^{-x^2} \) e \( y = -1 \) é:<br /><br />\[ R(x) = e^{-x^2} - (-1) = e^{-x^2} + 1 \]<br /><br />Para \( r(x) \), a distância entre \( y = -1 \) y = -1 \) é zero:<br /><br />\[ r(x) = -1 - (-1) = 0 \]<br /><br />Portanto, a fórmula para o volume é:<br /><br />\[ V = \pi \int_{-1}^{1} (e^{-x^2} + 1)^2 \, dx \]<br /><br />Vamos calcular essa integral:<br /><br />\[ V = \pi \int_{-1}^{1} (e^{-x^2} + 2e^{-x^2} + 1) \, dx \]<br /><br />Podemos separar a integral em duas partes:<br /><br />\[ V = \pi \left( \int_{-1}^{1} e^{-x^2} \, dx + 2 \int_{-1}^{1} e^{-x^2} \, dx + \int_{-1}^{1} 1 \, dx \right) \]<br /><br />Sabemos que \( \int_{-1}^{1}x^2} \, dx \) é uma integral de uma função simétrica sobre um intervalo simétrico, e podemos usar a propriedade de que \( e^{-x^2} \) é uma função simétrica:<br /><br />\[ \int_{-1}^{1} e^{-x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{1} e^{-x^2} \, dx \]<br /><br />Para \( \int_{0}^{1} e^{-x^2} \, dx \), podemos usar uma substituição. Seja \( u = x \), então \( du = dx \):<br /><br />\[ \int_{0}^{1} e^{-x^2} \, dx = \int_{0}^{1} e^{-u^2} \, du \]<br /><br />Esta integral pode ser resolvida usando a propriedade de que \( \int_{0}^{1} e^{-u^2} \, du = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(1) \), onde \( \text{erf} \) é a função erro.<br /><br />Portanto:<br /><br />\[ \-1}^{1} e^{-x^2} \, dx = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(1) = \sqrt{\pi} \text{erf}(1) \]<br /><br />Agora, calculamos \( \int_{-1}^{1} 1 \, dx \):<br /><br />\[ \int_{-1}^{1} 1 \, dx = 2 \]<br /><br />Substituindo tudo de volta na fórmula do volume:<br /><br />\[ V = \pi \left( \sqrt{\pi} \text{erf}(1) + 2 \sqrt{\pi} \text{erf}(1) + 2 \right) \]<br /><br />\[ V = \pi \left( 3 \sqrt{\pi} \text{erf}(1) + 2 \right) \]<br /><br />Portanto, o volume do sólido obtido pela rotação da região dada em torno de \( y = -1 \) é:<br /><br />\[ V = \pi \left( 3 \sqrt{\pi} \text{erf}(1) + 2 \right) \]