2. Mostre que lim _(narrow infty )sqrt [n](a)=1 se agt 0

Para mostrar que $\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a}=1$ quando $a>0$, podemos usar a definição de limite e a propriedade das raízes.<br /><br />Dado que $a>0$, podemos escrever $a$ como $a=1^a$. Agora, vamos considerar a expressão $\sqrt[n]{a}$, que pode ser escrita como $(a)^{1/n}$.<br /><br />Queremos mostrar que $\lim_{n\rightarrow \infty}(a)^{1/n}=1$. Para isso, vamos usar a definição de limite. Se $\lim_{n\rightarrow \infty}(a)^{1/n}=1$, então para qualquer número positivo $\epsilon$, existe um número inteiro $N$ tal que para todos os $n>N$, temos $|(a)^{1/n}-1|<\epsilon$.<br /><br />Agora, vamos analisar a expressão $|(a)^{1/n}-1|$. Podemos escrever isso como $|a^{1/n}-1|$. Como $a>0$, temos que $a^{1/n}>0$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Portanto, $|a^{1/n}-1|=a^{1/n}-1$.<br /><br />Queremos que $a^{1/n}-1<\epsilon$ para todos os $n>N$. Como $a^{1/n}$ é sempre positivo, podemos escrever $a^{1/n}-1$ como $(a^{1/n}-1)\frac{a^{1/n}+1}{a^{1/n}+1}=\frac{a-1}{a^{1/n}+1}$. Portanto, queremos que $\frac{a-1}{a^{1/n}+1}<\epsilon$ para todos os $n>N$.<br /><br />Como $a^{1/n}\rightarrow 1$ quando $n\rightarrow\infty$, podemos escolher $N$ tal que $a^{1/N}<\frac{a-1}{\epsilon}+1$ para todos os $n>N$. Assim, temos que $\frac{a-1}{a^{1/n}+1}<\epsilon$ para todos os $n>N$, o que significa que $\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a}=1$ quando $a>0$.