1) (5 pontos) Determine o limite: lim _(xarrow 3)(x^2+4x-21)/(x-3) lim _(xarrow 0)(sqrt (x^2+2)-2)/(x) c) lim _(xarrow pi )(sin(2x)+1)/(x^2) d lim _(xarrow infty )(x^2-2)/(x-3x^2)+1 e) lim _(xarrow 4)(x-4)/(x^2)-16

Vamos corrigir e detalhar as respostas:<br /><br />a) \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 4x - 21}{x - 3}\)<br /><br />Primeiro, fatoramos o numerador:<br />\[ x^2 + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3) \]<br /><br />Então, a expressão se torna:<br />\[ \frac{(x + 7)(x - 3)}{x - 3} \]<br /><br />Cancelamos o termo \(x - 3\) no numerador e no denominador:<br />\[ \lim_{x \to 3} (x + 7) = 3 + 7 = 10 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é 10.<br /><br />b) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 2} - 2}{x}\)<br /><br />Multiplicamos e dividimos pelo conjugado do numerador:<br />\[ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x^2 + 2} - 2)(\sqrt{x^2 + 2} + 2)}{x(\sqrt{x^2 + 2} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x(\sqrt{x^2 + 2} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2} + 2} = \frac{0}{\sqrt{0^2 + 2} + 2} = \frac{0}{4} = 0 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é 0.<br /><br />c) \(\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(2x) + 1}{x^2}\)<br /><br />Usamos a aproximação \(\sin(2x) \approx 2x - \frac{(2x)^3}{3!} = 2x - \frac{4x^3}{6} = 2x - \frac{2x^3}{3}\) para \(x \to 0\):<br />\[ \lim_{x \to \pi} \frac{2x - \frac{2x^3}{3} + 1}{x^2} = \lim_{x \to \pi} \left( \frac{2}{x} - \frac{2x}{3} + \frac{1}{x^2} \right) = \lim_{x \to \pi} \left( \frac{2}{x} - \frac{2x}{3} + \frac{1}{x^2} \right) \]<br /><br />Como \(x \to \pi\), \(\frac{2}{x} \to 0\) e \(\frac{2x}{3} \to \frac{2\pi}{3}\):<br />\[ \lim_{x \to \pi} \left( \frac{2}{x} - \frac{2x}{3} + \frac{1}{x^2} \right) = 0 - \frac{2\pi}{3} + 0 = -\frac{2\pi}{3} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(-\frac{2\pi}{3}\).<br /><br />d) \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2}{x - 3x^2 + 1}\)<br /><br />Dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x\):<br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 0}{1 - 0 + 0} = 1 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é 1.<br /><br />e) \(\lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{x^2 - 16}\)<br /><br />Fatoramos o denominador:<br />\[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \]<br /><br />Então, a expressão se torna:<br />\[ \frac{x - 4}{(x - 4)(x + 4)} \]<br /><br />Cancelamos o termo \(x - 4\) no numerador e no denominador:<br />\[ \lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{4 + 4} = \frac{1}{8} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(\frac{1}{8}\).