PERGUNTA 5 Quando falamos em polinômio de Taylor, sabemos da sua utilidade para estimar valores de determinada função a partir da utilização de suas derivadas. Essa é uma ferramenta multo utilizada dentro do cálculo diferencial e integral, a fim de determinar valores de uma função complexa de maneira mais simples Dito isso, assinale a allernativa correta do polinômio de Taylor de grau 3. em volta do x_(0)=1 da função f(x)=x^5 (6) a P_(3)(x)=5x-4+10(x-1)^2+10(x-1)^3 b P_(3)(x)=5x-4+5(x-1)^2+5(x-1)^3 C P_(3)(x)=1x-3+10(x-1)^2+10(x-1)^3 d P_(3)(x)=5x-4+2(x-1)^2+3(x-1)^3 e P_(3)(x)=2x-4+10(x-1)^4+10(x-1)^2

alternativa correta é a letra a) $P_{3}(x)=5x-4+10(x-1)^{2}+10(x-1)^{3}$.<br /><br />O polinômio de Taylor de grau 3 em volta de $x_{0}=1$ para a função $f(x)=x^{5}$ é dado por:<br /><br />$P_{3}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\frac{f'''(x_{0})}{3!}(x-x_{0})^{3}$<br /><br />Calculando as derivadas de $f(x)=x^{5}$, temos:<br /><br />$f'(x)=5x^{4}$<br />$f''(x)=20x^{3}$<br />$f'''(x)=60x^{2}$<br /><br />Substituindo $x_{0}=1$ nas derivadas, temos:<br /><br />$f(1)=1^{5}=1$<br />$f'(1)=5(1)^{4}=5$<br />$f''(1)=20(1)^{3}=20$<br />$f'''(1)=60(1)^{2}=60$<br /><br />Agora, substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor, temos:<br /><br />$P_{3}(x)=1+5(x-1)+\frac{20}{2}(x-1)^{2}+\frac{60}{6}(x-1)^{3}$<br />$P_{3}(x)=1+5(x-1)+10(x-1)^{2}+10(x-1)^{3}$<br />$P_{3}(x)=5x-4+10(x-1)^{2}+10(x-1)^{3}$<br /><br />Portanto, a alternativa correta é a letra a) $P_{3}(x)=5x-4+10(x-1)^{2}+10(x-1)^{3}$.