3. Otriângulo ABC é retângulo em A Sabe-se que a soma das medidas dos lados deste triângulo é 96 e que a medida de overline (AB) é a média aritmética das medidas dos outros dois lados. A medida da hipotenusa é um número inteiro cuja soma dos algarismosé a) 3. b) 4. C) 6. d) 7. e) 8.

Vamos chamar os lados do triângulo de a, b e c, onde c é a hipotenusa. Sabemos que a soma dos lados é 96, então temos a equação:<br /><br />a + b + c = 96<br /><br />Também sabemos que a medida de AB é a média aritmética dos outros dois lados, então temos a equação:<br /><br />a = (b + c) / 2<br /><br />Como o triângulo é retângulo em A, podemos usar o Teorema de Pitágoras:<br /><br />a^2 = b^2 + c^2<br /><br />Substituindo a = (b + c) / 2 na equação do Teorema de Pitágoras, temos:<br /><br />((b + c) / 2)^2 = b^2 + c^2<br /><br />(b + c)^2 = 4(b^2 + c^2)<br /><br />b^2 + c^2 + 2bc = 4b^2 + 4c^2<br /><br />2bc = 3b^2 + 3c^2<br /><br />bc = (3/2)b^2 + (3/2)c^2<br /><br />Agora, vamos encontrar a medida da hipotenusa c. Sabemos que a soma dos algarismos de c é 8, então podemos escrever c como 10x + y, onde x e y são algarismos. A soma dos algarismos é 8, então temos:<br /><br />x + y = 8<br /><br />A única combinação de algarismos que satisfaz essa equação é x = 7 e y = 1, então c = 71.<br /><br />Agora, podemos substituir c = 71 na equação a + b + c = 96:<br /><br />a + b + 71 = 96<br /><br />a + b = 25<br /><br />Como a é a média aritmética dos outros dois lados, temos:<br /><br />a = (b + 71) / 2<br /><br />Substituindo a na equação a + b = 25:<br /><br />(b + 71) / 2 + b = 25<br /><br />b + 71 + 2b = 50<br /><br />3b + 71 = 50<br /><br />3b = -21<br /><br />b = -7<br /><br />Como b não pode ser negativo, não há solução para essa equação. Portanto, a resposta correta é a opção e) 8.