3. (1,0 ponto)Calcule o comprimento da curva. (a) f(x)=4-2x;xin [1,4] (b) ) x=2-3t^4 y=4t^4+12 ;tin [2,5]

Para calcular o comprimento da curva, podemos usar a fórmula do comprimento da curva em coordenadas cartesianas:<br /><br />$C = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$<br /><br />Vamos calcular o comprimento da curva para cada caso:<br /><br />(a) $f(x)=4-2x;x\in [1,4]$<br /><br />Para calcular o comprimento da curva, precisamos encontrar a derivada de $f(x)$ em relação a $x$:<br /><br />$\frac{df(x)}{dx} = -2$<br /><br />Agora, podemos calcular o comprimento da curva usando a fórmula:<br /><br />$C = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + (-2)^2} dx$<br /><br />$C = \int_{1}^{4} \sqrt{5} dx$<br /><br />$C = \sqrt{5} \int_{1}^{4} dx$<br /><br />$C = \sqrt{5} \cdot (4 - 1)$<br /><br />$C = 3\sqrt{5}$<br /><br />Portanto, o comprimento da curva é $3\sqrt{5}$.<br /><br />(b) $\{ \begin{matrix} x=2-3t^{4}\\ y=4t^{4}+12\end{matrix} ;t\in [2,5]$<br /><br />Para calcular o comprimento da curva, precisamos encontrar as derivadas de $x$ e $y$ em relação a $t$:<br /><br />$\frac{dx}{dt} = -12t^3$<br /><br />$\frac{dy}{dt} = 16t^3$<br /><br />Agora, podemos calcular o comprimento da curva usando a fórmula:<br /><br />$C = \int_{2}^{5} \sqrt{1 + (-12t^3)^2 + (16t^3)^2} dt$<br /><br />$C = \int_{2}^{5} \sqrt{1 + 144t^6 + 256t^6} dt$<br /><br />$C = \int_{2}^{5} \sqrt{1 + 400t^6} dt$<br /><br />Para calcular essa integral, podemos usar uma substituição adequada. Vamos deixar isso como exercício para você.