lim _(x arrow pi) (sin (2 x)+1)/(x^2)

Para encontrar o limite da função \( \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin (2 x)+1}{x^{2}} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma função indeterminada da forma \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \) aplicando a derivada do numerador e do denominador.<br /><br />Aplicando a regra de L'Hôpital, temos:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin (2 x)+1}{x^{2}} = \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\frac{d}{dx}(\sin (2 x)+1)}{\frac{d}{dx}(x^{2})} \)<br /><br />Calculando as derivadas, obtemos:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{2 \cos (2 x)}{2x} \)<br /><br />Agora, podemos simplificar a expressão:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\cos (2 x)}{x} \)<br /><br />Para encontrar esse limite, podemos substituir \( x \) por \( \pi \):<br /><br />\( \frac{\cos (2 \pi)}{\pi} = \frac{1}{\pi} \)<br /><br />Portanto, o limite da função \( \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin (2 x)+1}{x^{2}} \) é \( \frac{1}{\pi} \).