Pergunta

Finding a Total Differential In Exercises 3-8, find the total differential. 3. z=5x^3y^2 4. z=2x^3y-8xy^4 5. z=(1)/(2)(e^x^(2+y^2)-e^-x^(2-y^2)) 6. z=e^-xtany 7. w=x^2yz^2+sinyz 8. w=(x+y)/(z-3y)
Solução

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EduardoMestre · Tutor por 5 anos
Responder
3. Para encontrar a diferença total de $z=5x^{3}y^{2}$, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a $x$ e $y$, e depois multiplicá-las pelo diferencial de $x$ e $y$.<br /><br />A derivada parcial em relação a $x$ é $\frac{\partial z}{\partial x} = 15x^{2}y^{2}$, e a derivada parcial em relação a $y$ é $\frac{\partial z}{\partial y} = 10x^{3}y$. Portanto, a diferença total é $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy = 15x^{2}y^{2}dx + 10x^{3}ydy$.<br /><br />4. Para encontrar a diferença total de $z=2x^{3}y-8xy^{4}$, calculamos as derivadas parciais em relação a $x$ e $y$, e depois multiplicá-las pelo diferencial de $x$ e $y$.<br /><br />A derivada parcial em relação a $x$ é $\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^{2}y$, e a derivada parcial em relação a $y$ é $\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^{3}-32xy^{3}$. Portanto, a diferença total é $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy = 6x^{2}ydx + (2x^{3}-32xy^{3})dy$.<br /><br />5. Para encontrar a diferença total de $z=\frac {1}{2}(e^{x^{2}+y^{2}}-e^{-x^{2}-y^{2}})$, calculamos as derivadas parciais em relação a $x$ e $y$, e depois multiplicá-las pelo diferencial de $x$ e $y$.<br /><br />A derivada parcial em relação a $x$ é $\frac{\partial z}{\partial x} = (x^{2}+y^{2})e^{x^{2}+y^{2}}+(x^{2}+y^{2})e^{-x^{2}-y^{2}}$, e a derivada parcial em relação a $y$ é $\frac{\partial z}{\partial y} = (x^{2}+y^{2})e^{x^{2}+y^{2}}+(x^{2}+y^{2})e^{-x^{2}-y^{2}}$. Portanto, a diferença total é $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy = (x^{2}+y^{2})e^{x^{2}+y^{2}}+(x^{2}+y^{2})e^{-x^{2}-y^{2}}dx + (x^{2}+y^{2})e^{x^{2}+y^{2}}+(x^{2}+y^{2})e^{-x^{2}-y^{2}}dy$.<br /><br />6. Para encontrar a diferença total de $z=e^{-x}tany$, calculamos as derivadas parciais em relação a $x$ e $y$, e depois multiplicá-las pelo diferencial de $x$ e $y$.<br /><br />A derivada parcial em relação a $x$ é $\frac{\partial z}{\partial x} = -e^{-x}tany$, e a derivada parcial em relação a $y$ é $\frac{\partial z}{\partial y} = e^{-x}ctany$. Portanto, a diferença total é $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy = -e^{-x}tanydx + e^{-x}ctanydy$.<br /><br />7. Para encontrar a diferença total de $w=x^{2}yz^{2}+sinyz$, calculamos as derivadas parciais em relação a $x$, $y$ e $z$, e depois multiplicá-las pelo diferencial de $x$, $y$ e $z$.<br /><br />A derivada parcial em relação a $x$ é $\frac{\partial w}{\partial x} = 2xyz^{2}$, a derivada parcial em relação a $y$ é $\frac{\partial w}{\partial y} = x^{2}z^{2}+sin(yz)z$, e a derivada parcial em relação a $z$ é
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