1) (2 pontos)Determine o limite: a) lim _(xarrow 2)(2x^2+4x-16)/(x-2) b) lim _(xarrow 1)(ln(2x))/(x-1) c) lim _(xarrow infty )(x^2-25)/(x^2)+xcosx d) lim _(xarrow 4)(2x-4)/(x^2)-16

Vamos corrigir e detalhar as respostas:<br /><br />a) \(\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 4x - 16}{x - 2}\)<br /><br />Primeiro, fatoramos o numerador:<br />\[ 2x^2 + 4x - 16 = 2(x^2 + 2x - 8) = 2(x + 4)(x - 2) \]<br /><br />Então, a expressão se torna:<br />\[ \frac{2(x + 4)(x - 2)}{x - 2} \]<br /><br />Cancelamos o termo \((x - 2)\):<br />\[ \lim_{x \to 2} 2(x + 4) = 2(2 + 4) = 2 \cdot 6 = 12 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br />a) 12<br /><br />b) \(\lim_{x \to 1} \frac{\ln(2x)}{x - 1}\)<br /><br />Usamos a regra de L'Hôpital, pois temos uma forma indeterminada \(\frac{0}{0}\):<br />\[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln(2x)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}[\ln(2x)]}{\frac{d}{dx}[x - 1]} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br />b) 1<br /><br />c) \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 25}{x^2 + x \cos(x)}\)<br /><br />Dividimos o numerador e o denominador por \(x^2\):<br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \25}{x^2}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{\cos(x)}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 0}{1 + 0 + 0} = 1 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br />c) 1<br /><br />d) \(\lim_{x \to 4} \frac{2x - 4}{x^2 - 16}\)<br /><br />Fatoramos o denominador:<br />\[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \]<br /><br />Então, a expressão se torna:<br />\[ \frac{2(x - 2)}{(x - 4)(x + 4)} \]<br /><br />Cancelamos o termo \((x - 4)\):<br />\[ \lim_{x \to 4} \frac{2(x - 2)}{x + 4} = \frac{2(4 - 2)}{4 + 4} = \frac{2 \cdot 2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br />d) \(\frac{1}{2}\)