6. Dados os vetores overrightarrow (u)=(3,-1) e overrightarrow (v)=(-1,2) , determinar o vetor overrightarrow (w) tal que 4(overrightarrow (u)-overrightarrow (v))+(1)/(3)overrightarrow (w)=2overrightarrow (u)-overrightarrow (w) (b) 3overrightarrow (w)-(2overrightarrow (v)-overrightarrow (u))=2(4overrightarrow (w)-3overrightarrow (v)) 5overrightarrow (w)+3overrightarrow (v)-2overrightarrow (u)=(2)/(3)(-3overrightarrow (w)+overrightarrow (u))-overrightarrow (v)

Vamos resolver cada parte da equação:<br /><br />(a) $4(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})+\frac{1}{3}\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}$<br /><br />Primeiro, vamos calcular $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$:<br />$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} = (3,-1) - (-1,2) = (3+1,-1-2) = (4,-3)$<br /><br />Agora, vamos substituir isso na equação:<br />$4(4,-3) + \frac{1}{3}\overrightarrow{w} = 2(3,-1) - \overrightarrow{w}$<br /><br />Simplificando:<br />$(16,-12) + \frac{1}{3}\overrightarrow{w} = (6,-2) - \overrightarrow{w}$<br /><br />Agora, vamos isolar $\overrightarrow{w}$:<br />$\frac{1}{3}\overrightarrow{w} + \overrightarrow{w} = (6,-2) - (16,-12)$<br /><br />Simplificando:<br />$\frac{4}{3}\overrightarrow{w} = (-10,10)$<br /><br />Finalmente, dividindo ambos os lados por $\frac{4}{3}$, obtemos:<br />$\overrightarrow{w} = (-10,10) \cdot \frac{3}{4} = (-7.5,7.5)$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção (a) $\overrightarrow{w} = (-7.5,7.5)$.<br /><br />(b) $3\overrightarrow{w}-(2\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u})=2(4\overrightarrow{w}-3\overrightarrow{v})$<br /><br />Vamos substituir os valores dos vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$:<br />$3\overrightarrow{w} - (2(-1,2) - (3,-1)) = 2(4\overrightarrow{w} - 3(-1,2))$<br /><br />Simplificando:<br />$3\overrightarrow{w} - (-2,4) - (3,-1) = 2(4\overrightarrow{w} + 3(-1,2))$<br /><br />$3\overrightarrow{w} - (-5,3) = 2(4\overrightarrow{w} + (-3,6))$<br /><br />$3\overrightarrow{w} + 5,3 = 8\overrightarrow{w} + 12$<br /><br />$-5\overrightarrow{w} = 6,3$<br /><br />$\overrightarrow{w} = -1,13$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção (b) $\overrightarrow{w} = (-1,13)$.<br /><br />(c) $5\overrightarrow{w}+3\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{u}=\frac{2}{3}(-3\overrightarrow{w}+\overrightarrow{u})-\overrightarrow{v}$<br /><br />Vamos substituir os valores dos vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$:<br />$5\overrightarrow{w} + 3(-1,2) - 2(3,-1) = \frac{2}{3}(-3\overrightarrow{w} + (3,-1)) - (-1,2)$<br /><br />Simplificando:<br />$5\overrightarrow{w} - 3,6 - 6,2 = \frac{2}{3}(-3\overrightarrow{w} + 2,6) + 1,2$<br /><br />$5\overrightarrow{w} - 9,8 = -2\overrightarrow{w} + 1,68 + 1,2$<br /><br />$7\overrightarrow{w} = 11,08$<br /><br />$\overrightarrow{w} = 1,58$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção (c) $\overrightarrow{w} = (1,58,1,58)$.