(12) Decomponha em fatores o polinômio P(x)=2x^2-7x+3

Para decompor o polinômio \( P(x) = 2x^2 - 7x + 3 \) em fatores, podemos usar o método da fatoração por grupo ou a fórmula de Bhaskara. Vou usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes do polinômio e, em seguida, expressar o polinômio na forma fatorada.<br /><br />A fórmula de Bhaskara é dada por:<br /><br />\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />Para o polinômio \( P(x) = 2x^2 - 7x + 3 \), temos \( a = 2 \), \( b = -7 \) e \( c = 3 \).<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:<br /><br />\[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \]<br /><br />Simplificando a expressão dentro da raiz, temos:<br /><br />\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} \]<br /><br />\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} \]<br /><br />\[ x = \frac{7 \pm 5}{4} \]<br /><br />Isso nos dá duas soluções:<br /><br />\[ x = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]<br /><br />\[ x = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]<br /><br />Portanto, as raízes do polinômio são \( x = 3 \) e \( x = \frac{1}{2} \).<br /><br />Agora, podemos escrever o polinômio na forma fatorada:<br /><br />\[ P(x) = 2x^2 - 7x + 3 = 2(x - 3)(x - \frac{1}{2}) \]<br /><br />Portanto, a decomposição em fatores do polinômio \( P(x) = 2x^2 - 7x + 3 \) é:<br /><br />\[ P(x) = 2(x - 3)(x - \frac{1}{2}) \]