ntegral int _(0)^12pi (3-y)(1-y^2)dy representa o volume de un gráfico deste sólido e calcule seu volume.

Para calcular o volume do sólido representado pela integral \(\int_{0}^{1} 2\pi (3-y)(1-y^2) \, dy\), primeiro precisamos calcular a integral.<br /><br />Vamos resolver a integral passo a passo:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} 2\pi (3-y)(1-y^2) \, dy<br />\]<br /><br />Primeiro, distribua o termo \(1 - y^2\):<br /><br />\[<br />(3-y)(1-y^2) = 3 - 3y^2 - y + y^3<br />\]<br /><br />Agora, multiplique por \(2\pi\):<br /><br />\[<br />2\pi (3 - 3y^2 - y + y^3)<br />\]<br /><br />Agora, integre cada termo separadamente:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} 2\pi (3 - 3y^2 - y + y^3) \, dy = 2\pi \left( \int_{0}^{1} 3 \, dy - 3 \int_{0}^{1} y^2 \, dy - \int_{0}^{1} y \, dy + \int_{0}^{1} y^3 \, dy \right)<br />\]<br /><br />Calculamos cada integral separadamente:<br /><br />1. \(\int_{0}^{1} 3 \, dy = 3y \Big|_{0}^{1} = 3(1) - 3(0) = 3\)<br /><br />2. \(\int_{0}^{1} y^2 \, dy = \frac{y^3}{3} \Big|_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}\)<br /><br />3. \(\int_{0}^{1} y \, dy = \frac{y^2}{2} \Big|_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}\)<br /><br />4. \(\int_{0}^{1} y^3 \, dy = \frac{y^4}{4} \Big|_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4}\)<br /><br />Agora, substituímos esses resultados na expressão original:<br /><br />\[<br />2\pi \left( 3 - 3 \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right)<br />\]<br /><br />Simplificamos dentro dos parênteses:<br /><br />\[<br />2\pi \left( 3 - 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right)<br />\]<br /><br />\[<br />2\pi \left( 2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right)<br />\]<br /><br />\[<br />2\pi \left( 2 - 0.5 + 0.25 \right)<br />\]<br /><br />\[<br />2\pi \left( 1.75 \right)<br />\]<br /><br />\[<br />2\pi \cdot 1.75 = 3.5\pi<br />\]<br /><br />Portanto, o volume do sólido é \(3.5\pi\).