Pergunta

Calcule int sen^2((1)/(4)x)dx Escolha 1 resposta: A (1)/(2)x-2sen((1)/(2)x)+C B (1)/(2)x-4sen((1)/(4)x)+C C (1)/(2)x-sen((1)/(2)x)+C D x-2sen((1)/(2)x)+C
Solução

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AlexandreProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
resposta correta é a opção B: $\frac {1}{2}x-4sen(\frac {1}{4}x)+C$.<br /><br />Para calcular a integral $\int sen^{2}(\frac {1}{4}x)dx$, podemos usar a identidade trigonométrica $sen^{2}(u) = \frac{1 - cos(2u)}{2}$.<br /><br />Substituindo $u = \frac {1}{4}x$, temos $sen^{2}(\frac {1}{4}x) = \frac{1 - cos(\frac {1}{2}x)}{2}$.<br /><br />Agora, podemos calcular a integral:<br /><br />$\int sen^{2}(\frac {1}{4}x)dx = \int \frac{1 - cos(\frac {1}{2}x)}{2}dx = \frac{1}{2}\int dx - \frac{1}{2}\int cos(\frac {1}{2}x)dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{1}\int cos(\frac {1}{2}x)dx = \frac{1}{2}x - 2\int cos(\frac {1}{2}x)dx$.<br /><br />Para calcular a integral $\int cos(\frac {1}{2}x)dx$, podemos usar a substituição $u = \frac {1}{2}x$, então $du = \frac {1}{2}dx$, ou seja, $dx = 2du$.<br /><br />Substituindo na integral, temos:<br /><br />$\int cos(\frac {1}{2}x)dx = \int cos(u)\cdot 2du = 2\int cos(u)du = 2\sin(u) + C = 2\sin(\frac {1}{2}x) + C$.<br /><br />Portanto, a integral $\int sen^{2}(\frac {1}{4}x)dx$ é igual a $\frac {1}{2}x - 2\sin(\frac {1}{2}x) + C$, que é a opção B.
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