1^circ QUESTÃO) Três números estão em PG crescente,de tal forma que a soma deles é 130e o produto entre eles é 27000 Calcule os três números.

Vamos chamar os três números da progressão geométrica de \(a\), \(ar\) e \(ar^2\), onde \(r\) é a razão da progressão.<br /><br />Sabemos que a soma dos três números é 130, então podemos escrever a equação:<br /><br />\[a + ar + ar^2 = 130\]<br /><br />Também sabemos que o produto dos três números é 27000, então podemos escrever a equação:<br /><br />\[a \cdot ar \cdot ar^2 = 27000\]<br /><br />Simplificando a segunda equação, temos:<br /><br />\[a^3 \cdot r^3 = 27000\]<br /><br />Agora, podemos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de \(a\) e \(r\).<br /><br />Dividindo a segunda equação por \(a^3\), obtemos:<br /><br />\[r^3 = \frac{27000}{a^3}\]<br /><br />Substituindo \(r^3\) na primeira equação, temos:<br /><br />\[a + ar + ar^2 = 130\]<br /><br />\[a + a \cdot \sqrt[3]{\frac{27000}{a^3}} + a \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{27000}{a^3}}\right)^2 = 130\]<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />\[a + \sqrt[3]{27000} + \left(\sqrt[3]{27000}\right)^2 = 130\]<br /><br />\[a + 30 + 900 = 130\]<br /><br />\[a + 930 = 130\]<br /><br />\[a = 130 - 930\]<br /><br />\[a = -800\]<br /><br />Portanto, o primeiro número é -800. Agora, podemos encontrar o valor de \(r\) substituindo \(a\) na segunda equação:<br /><br />\[-800 \cdot (-800r) \cdot (-800r^2) = 27000\]<br /><br />\[800^3 \cdot r^3 = 27000\]<br /><br />\[r^3 = \frac{27000}{800^3}\]<br /><br />\[r^3 = \frac{27000}{512000000}\]<br /><br />\[r^3 = \frac{27}{51200}\]<br /><br />\[r = \sqrt[3]{\frac{27}{51200}}\]<br /><br />\[r = \frac{3}{200}\]<br /><br />Portanto, a razão \(r\) é \(\frac{3}{200}\).<br /><br />Agora, podemos encontrar os outros dois números da progressão geométrica:<br /><br />\[ar = -800 \cdot \frac{3}{200} = -12\]<br /><br />\[ar^2 = -800 \cdot \left(\frac{3}{200}\right)^2 = -0.18\]<br /><br />Portanto, os três números da progressão geométrica crescente são -800, -12 e -0.18.