Pergunta
![6. Encontre o comprimento exato da curva.
a) y=1+6x^3/2,xin [0,1]
c) x=(1)/(3)sqrt (y)(y-3),1leqslant yleqslant 9
b) y=(x^5)/(6)+(1)/(10x^3),1leqslant xleqslant 2,ygeqslant 0
d) y=(1)/(4)x^2-(1)/(2)ln(x),1leqslant xleqslant 2](https://static.questionai.br.com/resource%2Fqaiseoimg%2F202501%2F6-encontre-o-comprimento-exato-da-curvaa-y16x32xin-01c-trZgScbBnM0V.jpg?x-oss-process=image/resize,w_558,h_500/quality,q_35/format,webp)
6. Encontre o comprimento exato da curva. a) y=1+6x^3/2,xin [0,1] c) x=(1)/(3)sqrt (y)(y-3),1leqslant yleqslant 9 b) y=(x^5)/(6)+(1)/(10x^3),1leqslant xleqslant 2,ygeqslant 0 d) y=(1)/(4)x^2-(1)/(2)ln(x),1leqslant xleqslant 2
Solução

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TiagoVeterano · Tutor por 10 anos
Responder
Para encontrar o comprimento exato da curva, podemos usar a fórmula do comprimento da curva em coordenadas cartesianas:<br /><br />$C = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$<br /><br />Vamos analisar cada opção:<br /><br />a) $y=1+6x^{3/2},x\in [0,1]$<br /><br />Para encontrar o comprimento exato, precisamos calcular a derivada de $y$ em relação a $x$:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = 9x^{1/2}$<br /><br />Substituindo na fórmula do comprimento, temos:<br /><br />$C = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + (9x^{1/2})^2} dx$<br /><br />b) $y=\frac {x^{5}}{6}+\frac {1}{10x^{3}},1\leqslant x\leqslant 2,y\geqslant 0$<br /><br />Para encontrar o comprimento exato, precisamos calcular a derivada de $y$ em relação a $x$:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = \frac{5x^4}{6} - \frac{3}{10x^4}$<br /><br />Substituindo na fórmula do comprimento, temos:<br /><br />$C = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left(\frac{5x^4}{6} - \frac{3}{10x^4}\right)^2} dx$<br /><br />c) $x=\frac {1}{3}\sqrt {y}(y-3),1\leqslant y\leqslant 9$<br /><br />Para encontrar o comprimento exato, precisamos calcular a derivada de $x$ em relação a $y$:<br /><br />$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3}\left(1 - \frac{2}{\sqrt{y}}\right)$<br /><br />Substituindo na fórmula do comprimento, temos:<br /><br />$C = \int_{1}^{9} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{3}\left(1 - \frac{2}{\sqrt{y}}\right)\right)^2} dy$<br /><br />d) $y=\frac {1}{4}x^{2}-\frac {1}{2}ln(x),1\leqslant x\leqslant 2$<br /><br />Para encontrar o comprimento exato, precisamos calcular a derivada de $y$ em relação a $x$:<br /><br />$\frac{dy}{ \}{2} - \frac{1}{2x}$<br /><br />Substituindo na fórmula do comprimento, temos:<br /><br />$C = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2x}\right)^2} dx$<br /><br />Portanto, as opções corretas são:<br /><br />a) $C}^{1} \sqrt{1 + (9x^{1/2})^2} dx$<br /><br />b) $C = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left(\frac{5x^4}{6} - \frac{3}{10x^4}\right)^2} dx$<br /><br />c) $C = \int_{1}^{9} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{3}\left(1 - \frac{2}{\sqrt{y}}\right)\right)^2} dy$<br /><br />d) $C = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2x}\right)^2} dx$
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