x: Encontre a prócáo de u=(2,1) sobre x=(-1,3) .

Para encontrar a projeção de \( u \) sobre \( v \), precisamos calcular o produto vetorial entre \( u \) e \( v \), e depois dividir esse produto pelo módulo de \( v \).<br /><br />O produto vetorial entre dois vetores \( a = (a_1, a_2) \) e \( b = (b_1, b_2) \) é dado por:<br /><br />\( a \times b = (a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2, a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3, a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1) \)<br /><br />Aplicando essa fórmula ao produto vetorial entre \( u \) e \( v \), temos:<br /><br />\( u \times v = (1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3, 2 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3, 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)) \)<br /><br />\( u \times v = (-1 - 6, -2 + 3, 6 + 1) \)<br /><br />\( u \times v = (-7, 1, 7) \)<br /><br />Agora, precisamos calcular o módulo de \( v \), que é dado por:<br /><br />\( |v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \)<br /><br />\( |v| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 7^2} \)<br /><br />\( |v| = \sqrt{1 + 9 + 49} \)<br /><br />\( |v| = \sqrt{59} \)<br /><br />Para encontrar a projeção de \( u \) sobre \( v \), dividimos o produto vetorial pelo módulo de \( v \):<br /><br />\( \text{proj}_v(u) = \frac{u \times v}{|v|} \)<br /><br />\( \text{proj}_v(u) = \frac{(-7, 1, 7)}{\sqrt{59}} \)<br /><br />Portanto, a projeção de \( u \) sobre \( v \) é \( \frac{(-7, 1, 7)}{\sqrt{59}} \).