11: Use a definição de derivada para calcular a derivada de f(x)=(1)/(x^2) 12. Encontre a derivada de f(x)=arctan(x) 13. Derive a função f(x)=ln(x^2+1) 14. Calcule f'(x) para f(x)=e^x^(2) 15. Encontre a derivada de f(x)=sec(x) 16. Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada de f(x)=e^cos(x) 17. Encontre a derivada da função implícita 2x^2+3y^2=5 18. Determine a derivada de f(x)=(x^2)/(x^2)+1

II: Para calcular a derivada de $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$, podemos usar a definição de derivada. A derivada de uma função $f(x)$ é dada por:<br /><br />$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$<br /><br />Aplicando essa definição à função $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$, temos:<br /><br />$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{\frac{1}{{(x+h)^{2}}} - \frac{1}{{x^{2}}}}{h}$$<br /><br />Simplificando essa expressão, obtemos:<br /><br />$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{x^{2} - (x+h)^{2}}{h \cdot x^{2} \cdot (x+h)^{2}}$$<br /><br />$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{-2xh - h^{2}}{h \cdot x^{2} \cdot (x+h)^{2}}$$<br /><br />$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{-2x - h}{x^{2} \cdot (x+h)^{2}}$$<br /><br />$$f'(x) = \frac{-2x}{x^{2}}$$<br /><br />$$f'(x) = -\frac{2}{x^{3}}$$<br /><br />Portanto, a derivada de $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ é $f'(x) = -\frac{2}{x^{3}}$.<br /><br />12. A derivada de $f(x)=arctan(x)$ é $f'(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$.<br /><br />13. A derivada de $f(x)=ln(x^{2}+1)$ é $f'(x) = \frac{2x}{x^{2}+1}$.<br /><br />14. A derivada de $f(x)=e^{x^{2}}$ é $f'(x) = 2xe^{x^{2}}$.<br /><br />15. A derivada de $f(x)=sec(x)$ é $f'(x) = sec(x) \cdot tan(x)$.<br /><br />16. Utilizando a regra da cadeia, a derivada de $f(x)=e^{cos(x)}$ é $f'(x) = -sin(x) \cdot e^{cos(x)}$.<br /><br />17. Para encontrar a derivada da função implícita $2x^{2}+3y^{2}=5$, podemos derivar implicitamente em relação a $x$:<br /><br />$$4x + 6yy' = 0$$<br /><br />Isolando $y'$, obtemos:<br /><br />$$y' = -\frac{2x}{3y}$$<br /><br />18. A derivada de $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$ pode ser encontrada usando a regra do quociente:<br /><br />$$f'(x) = \frac{(x^{2}+1) \cdot 2x - x^{2} \cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}$$<br /><br />$$f'(x) = \frac{2x - 2x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}}$$<br /><br />$$f'(x) = \frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}$$