Pergunta

1) Determinar o fluxo do campo vetorial overrightarrow (F)(x,y,z)=(2x,2y,2z) através da superficie esférica 1)
Solução

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RafaelVeterano · Tutor por 10 anos
Responder
Para determinar o fluxo do campo vetorial $\overrightarrow{F}(x,y,z) = (2x, 2y, 2z)$ através da superfície esférica, podemos usar a fórmula do fluxo através de uma superfície fechada:<br /><br />$\iint_{S} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{S} = \int_{C} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}$<br /><br />Onde $\iint_{S} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{S}$ é o fluxo através da superfície $S$, $\int_{C} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}$ é o fluxo ao longo da curva $C$ que delimita a superfície $S$, e $\overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{S}$ é o produto escalar do campo vetorial $\overrightarrow{F}$ com o vetor normal à superfície $S$.<br /><br />No caso da superfície esférica, podemos escolher uma curva $C$ que seja um círculo no plano $xy$ ou no plano $yz$ ou no plano $xz$. Vamos considerar o círculo no plano $.<br /><br />A equação da superfície esférica é $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$, onde $R$ é o raio da esfera.<br /><br />Podemos parametrizar o círculo no plano $xy$ como $x = R \cos(\theta)$, $y = R \sin(\theta)$, $z = 0$, onde $\theta$ varia de $0$ a $2\pi$.<br /><br />A curva $C$ é então uma linha reta no plano $xy$ que vai de $(R, 0, 0)$ a $(-R, 0, 0)$.<br /><br />A integral ao longo da curva $C$ é:<br /><br />$\int_{C} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int_{0}^{2\pi} (2R \cos(\theta), 2R \sin(\theta), 0) \cdot (R \cos(\theta), R \sin(\theta), 0) d\theta$<br /><br />$= \int_{0}^{2\pi} 2R^2 \cos^2(\theta) + 2R^2 \sin^2(\theta) d\theta$<br /><br />$= \int_{0}^{2\pi} 2R^2 (\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)) d\theta$<br /><br />$= \int_{0}^{2\pi} 2R^2 d\theta$<br /><br />$= 2R^2 \cdot 2\pi$<br /><br />$= 4\pi R^2$<br /><br />Portanto, o fluxo do campo vetorial $\overrightarrow{F}(x,y,z) = (2x, 2y, 2z)$ através da superfície esférica é $4\pi R^2$.
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