1. (2 pts ) Calcule as integrais abaixo. a) (1 pt) int cos(x)ln(sen(x))dx b) (0.5 pt) int _(0)^pi /3tcos(t)dt c) (0.5 pt) int sen^5(t)cos(t)dt

Vamos calcular as integrais fornecidas:<br /><br />a) $\int \cos(x)\ln(\sin(x))dx$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar a substituição. Vamos fazer $u = \sin(x)$, então $du = \cos(x)dx$. A integral fica:<br /><br />$\int \ln(u)du$<br /><br />Podemos resolver essa integral usando a integração por partes. Seja $v = \ln(u)$ e $dw = du$. Então, $dv = \frac{1}{u}du$ e $w = u$. Aplicando a fórmula de integração por partes $\int vdw = vw - \int wdv$, temos:<br /><br />$\int \ln(u)du = u\ln(u) - \int u\frac{1}{u}du$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\int \ln(u)du = u\ln(u) - \int 1du$<br /><br />$\int \ln(u)du = u\ln(u) - u + C$<br /><br />Substituindo $u = \sin(x)$, temos:<br /><br />$\int \cos(x)\ln(\sin(x))dx = \sin(x)\ln(\sin(x)) - \sin(x) + C$<br /><br /> $\int_{0}^{\pi/3}t\cos(t)dt$<br /><br />Podemos resolver essa integral usando a integração por partes. Seja $v = t$ e $dw = \cos(t)dt$. Então, $dv = dt$ e $w = \sin(t)$. Aplicando a fórmula de integração por partes $\int vdw = vw - \int wdv$, temos:<br /><br />$\int_{0}^{\pi/3}t\cos(t)dt = \left[t\sin(t)\right]_{0}^{\pi/3} - \int_{0}^{\pi/3}\sin(t$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\int_{0}^{\pi/3}t\cos(t)dt = \left[t\sin(t)\right]_{0}^{\pi/3} - \left[-\cos(t)\right]_{0}^{\pi/3}$<br /><br />Calculando os limites, temos:<br /><br />$\int_{0}^{\pi/3}t\cos(t)dt = \left[\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{3}) - 0\cdot\sin(0)\right] - \left[-\cos(\frac{\pi}{3}) - (-\cos(0))\right]implificando, temos:<br /><br />$\int_{0}^{\pi/3}t\cos(t)dt = \frac{\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \left[-\frac{1}{2} - (-1)\right]$<br /><br />$\int_{0}^{\pi/3}t\cos(t)dt = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2} + 1$<br /><br />$\int_{0}^{\pi/3}t\cos(t)dt = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}$<br /><br />c) $\int \sin^{5}(t)\cos(t)dt$<br /><br />Podemos resolver essa integral usando a substituição. Vamos fazer $u = \sin(t)$, então $du = \cos(t)dt$. A integral fica:<br /><br />$\int u^{5}du$<br /><br />Aplicando a fórmula da potência, temos:<br /><br />$\int u^{5}du = \frac{u^{{6} + C$<br /><br />Substituindo $u = \sin(t)$, temos:<br /><br />$\int \sin^{5}(t)\cos(t)dt = \frac{\sin^{6}(t)}{6} + C$<br /><br />Portanto, as respostas corretas são:<br /><br />a) $\int \cos(x)\ln(\sin(x))dx = \sin(x)\ln(\sin(x)) - \sin(x) + C$<br /><br />b) $\int_{0}^{\pi/3}t\cos(t)dt = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}$<br /><br />c) $\int \sin^{5}(t)\cos(t)dt = \frac{\sin^{6}(t)}{6} + C$