5) (1,0 ponto)Calcule o volume dos solidos de revolução obtido pela rotação em tomo do eixo Y da região: x^2-3x+3leqslant yleqslant 5-x^2 com xin [0,2]

Para calcular o volume dos sólidos de revolução obtidos pela rotação em torno do eixo Y da região dada, podemos usar o método dos discos ou anéis.<br /><br />O método dos discos envolve a integração da área de cada disco ao longo do eixo de revolução. Neste caso, o eixo de revolução é o eixo Y, então a área de cada disco é dada por πr², onde r é a distância de cada ponto da região ao eixo Y.<br /><br />A região dada é limitada pela curva x² - 3x + 3 = y e 5 - x² = y, com x variando de 0 a 2. Portanto, o raio de cada disco é dado por r = x.<br /><br />A área de cada disco é então πx². Para encontrar o volume total, precisamos integrar essa área ao longo do intervalo de x de 0 a 2:<br /><br />V = ∫(de 0 a 2) πx² dx<br /><br />Integrando, obtemos:<br /><br />V = π ∫(de 0 a 2) x² dx<br /><br />V = π [x³/3] (de 0 a 2)<br /><br />V = π [(2³/3) - (0³/3)]<br /><br />V = π (8/3)<br /><br />Portanto, o volume dos sólidos de revolução obtidos pela rotação em torno do eixo Y da região dada é 8π/3.