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Matemática
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3) Demonstrar por indução que: a) 1.2+2.3+3.4+ldots +n(n+1)=(n(n+1)(n+2))/(3),forall nin N b) 24vert (5^2n-1),forall nin N

Pergunta

3) Demonstrar por indução que:
a) 1.2+2.3+3.4+ldots +n(n+1)=(n(n+1)(n+2))/(3),forall nin N
b) 24vert (5^2n-1),forall nin N

3) Demonstrar por indução que: a) 1.2+2.3+3.4+ldots +n(n+1)=(n(n+1)(n+2))/(3),forall nin N b) 24vert (5^2n-1),forall nin N

Solução

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FernandoMestre · Tutor por 5 anos

Responder

a) Para demonstrar a fórmula dada por indução, vamos seguir os passos da prova por indução matemática.<br /><br />Passo 1: Base da indução<br />Para n = 1, temos:<br />1.2 = 2<br />E a fórmula dada é:<br />$\frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$<br />Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 1.<br /><br />Passo 2: Passo da indução<br />Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum inteiro k, ou seja, suponha que:<br />$1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$<br /><br />Queremos mostrar que a fórmula também é verdadeira para k+1, ou seja, queremos mostrar que:<br />$1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$<br /><br />Substituindo a suposição de indução na equação acima, temos:<br />$\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados da equação por 3 para eliminar o denominador, obtemos:<br />$k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3)$<br /><br />Fatorando o lado esquerdo da equação, temos:<br />$(k+1)(k+2)(k+3) = (k+1)(k+2)(k+3)$<br /><br />Portanto, a fórmula é verdadeira para k+1, se for verdadeira para k.<br /><br />Passo 3: Conclusão<br />Como a fórmula é verdadeira para n = 1 (base da indução) e é verdadeira para k+1 se for verdadeira para k (passo da indução), concluímos que a fórmula é verdadeira para todos os números naturais n.<br /><br />Portanto, a fórmula $1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ é verdadeira para todos os números naturais n.<br /><br />b) Para demonstrar a afirmação dada por indução, vamos seguir os passos da prova por indução matemática.<br /><br />Passo 1: Base da indução<br />Para n = 1, temos:<br />$5^{2 \cdot 1} - 1 = 5^2 - 1 = 24$<br />E 24 é divisível por 24.<br /><br />Portanto, a afirmação é verdadeira para n = 1.<br /><br />Passo 2: Passo da indução<br />Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum inteiro k, ou seja, suponha que:<br />$24 \vert (5^{2k} - 1)$<br /><br />Queremos mostrar que a afirmação também é verdadeira para k+1, ou seja, queremos mostrar que:<br />$24 \vert (5^{2(k+1)} - 1)$<br /><br />Substituindo a suposição de indução na equação acima, temos:<br />$24 \vert (5^{2k} - 1) \Rightarrow 24 \vert (5^{2k} - 1 + 1) \Rightarrow 24 \vert 5^{2k}$<br /><br />Agora, vamos analisar o termo $5^{2(k+1)} - 1$:<br />$5^{2(k+1)} - 1 = 5^{2k+2} - 1 = (5^2)^{k+1} - 1 = 25^{k+1} - 1$<br /><br />Podemos escrever 25 como $5^2$, então:<br />$25^{k+1} - 1 = (5^2)^{k+1} - 1 = 5^{2(k+1)} - 1$<br /><br />Agora, podemos usar a suposição de indução:<br />$24 \vert 5^{2k} \Rightarrow 24 \vert 5^{2k} - 1$<br /><br />Portanto, a afirmação é verdade
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