33. Resolv xin [0,2pi [ 2cos^2x+3cosx+1gt 0 send o

Para resolver a inequação \(2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 1 > 0\), vamos analisar o comportamento da função quadrática \(f(\cos(x)) = 2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 1\).<br /><br />Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação \(2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 1 = 0\). Vamos resolver essa equação quadrática:<br /><br />\[2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 1 = 0\]<br /><br />Podemos usar a fórmulaaskara para encontrar as raízes:<br /><br />\[ \cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />onde \(a = 2\), \(b = 3\) e \(c = 1\).<br /><br />\[ \cos(x) = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \]<br />\[ \cos(x) = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} \]<br />\[ \cos(x) = \frac{-3 \pm 1}{4} \]<br /><br />Isso nos dá duas raízes:<br /><br />\[ \cos(x) = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2} \]<br />\[ \cos(x) = \frac{-3 - 1}{4} = -1 \]<br /><br />Agora, precisamos determinar os intervalos onde a função \(2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 1\) é maior que zero. Podemos fazer isso testando os intervalos determinados pelas raízes encontradas.<br /><br />As raízes correspondem a \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\) e \(\cos(x) = -1\). No intervalo \([0, 2\pi]\), essas raízes ocorrem em:<br /><br />- \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\) ocorre em \(x = \frac{2\pi}{3}\) e \(x = \frac{4\pi}{3}\)<br />- \(\cos(x) = -1\) ocorre em \(x = \pi\)<br /><br />Vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes:<br /><br />1. \(0 \leq x < \frac{2\pi}{3}\)<br />2. \(\frac{2\pi}{3} < x < \pi\)<br />3. \(\pi < x < \frac{4\pi}{3}\)<br />4. \(\frac{4\pi}{3} < x < 2\pi\)<br /><br />Testando um ponto em cada intervalo:<br /><br />- No intervalo \(0 \leq x < \frac{2\pi}{3}\), escolha \(x = 0\):<br /> \[2\cos^2(0) + 3\cos(0) + 1 = 2(1) + 3(1) + 1 = 6 > 0\]<br /><br />- No intervalo \(\frac{2\pi}{3} < x < \pi\), escolha \(x = \frac{\pi}{2}\):<br /> \[2\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + 3\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 2(0) + 3(0) + 1 = 1 > 0\]<br /><br />- No intervalo \(\pi < x < \frac{4\pi}{3}\), escolha \(x = \pi\):<br /> \[2\cos^2(\pi) + 3\cos(\pi) + 1 = 2(-1)^2 + 3(-1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0\]<br /><br />- No intervalo \(\frac{4\pi}{3} < x < 2\pi\), escolha \(x = \frac{5\pi}{3}\):<br /> \[2\cos^2\left(\frac{5\pi}{3}\right) + 3\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + 1 = 2(1) + 3(1) + 1 = 6 > 0\]<br /><br />Portanto, a inequação \(2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 1 > 0\) é satisfeita nos intervalos:<br /><br />\[ \left[0, \