lim _(xarrow p)(sen(x^2-p^2))/(x-p)

Para resolver essa limitação, podemos usar a regra do quociente. Primeiro, vamos aplicar a regra do quociente:<br /><br />\[<br />\lim _{x\rightarrow p}\frac {sen(x^{2}-p^{2})}{x-p} = \lim _{x\rightarrow p}\frac {sen(x^{2}-p^{2})}{x-p} \cdot \frac{1}{1}<br />\]<br /><br />Podemos simplificar o numerador usando a identidade trigonométrica \( \sin(a^2 - b^2) = \sin(a^2) \cos(b^2) - \cos(a^2) \sin(b^2) \):<br /><br />\[<br />\lim _{x\rightarrow p}\frac {sen(x^{2}-p^{2})}{x-p} = \lim _{x\rightarrow p}\frac {sen(x^{2}) \cos(p^{2}) - \cos(x^{2}) \sin(p^{2})}{x-p}<br />\]<br /><br />Agora, podemos aplicar a regra do quociente:<br /><br />\[<br />\lim _{x\rightarrow p}\frac {sen(x^{2}) \cos(p^{2}) - \cos(x^{2}) \sin(p^{2})}{x-p} = \lim _{x\rightarrow p}\frac {sen(x^{2}) \cos(p^{2})}{x-p} - \lim _{x\rightarrow p}\frac {\cos(x^{2}) \sin(p^{2})}{x-p}<br />\]<br /><br />Podemos simplificar ainda mais o numerador usando a identidade trigonométrica \( \sin(a) \cos(b) = \frac{1}{2} \sin(a+b) + \frac{1}{2} \sin(a-b) \):<br /><br />\[<br />\lim _{x\rightarrow p}\frac {sen(x^{2}) \cos(p^{2})}{x-p} - \lim _{x\rightarrow p}\frac {\cos(x^{2}) \sin(p^{2})}{x-p} = \lim _{x\rightarrow p}\frac {\frac{1}{2} sen(x^{2}+p^{2}) + \frac{1}{2} sen(x^{2}-p^{2})}{x-p} - \lim _{x\rightarrow p}\frac {\cos(x^{2}) \sin(p^{2})}{x-p}<br />\]<br /><br />Podemos simplificar ainda mais o numerador usando a identidade trigonométrica \( \sin(a+b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b) \):<br /><br />\[<br />\lim _{x\rightarrow p}\frac {\frac{1}{2} sen(x^{2}+p^{2}) + \frac{1}{2} sen(x^{2}-p^{2})}{x-p} - \lim _{x\rightarrow p}\frac {\cos(x^{2}) \sin(p^{2})}{x-p} = \lim _{x\rightarrow p}\frac {\frac{1}{2} \sin(x^{2}) \cos(p^{2}) + \frac{1}{2} \cos(x^{2}) \sin(p^{2}) + \frac{1}{2} \sin(x^{2}) \cos(p^{2}) - \frac{1}{2} \cos(x^{2}) \sin(p^{2})}{x-p} - \lim _{x\rightarrow p}\frac {\cos(x^{2}) \sin(p^{2})}{x-p}<br />\]<br /><br />Podemos simplificar ainda mais o numerador usando a identidade trigonométrica \( \sin(a) \cos(b) = \frac{1}{2} \sin(a+b) + \frac{1}{2} \sin(a-b) \):<br /><br />\[<br />\lim _{x\rightarrow p}\frac {\frac{1}{2} \sin(x^{2}) \cos(p^{2}) + \frac{1}{2} \cos(x^{2}) \sin(p^{2}) + \frac{1}{2} \sin(x^{2}) \cos(p^{2}) - \frac{1}{2} \cos(x^{2}) \sin(p^{2})}{x-p} - \lim _{x\rightarrow p}\frac {\cos(x^{2}) \sin(p^{2})}{x-p} = \lim _{x\rightarrow p}\frac {\sin(x^{2}) \cos(p^{2})}{x-p} - \lim _{x\rightarrow p}\frac {\cos(x^{2}) \sin(p^{2})}{x-p}<br />\]<br /><br />Podemos simplificar ainda mais o numerador usando a identidade trigonométrica \( \sin(a) \cos(b) = \frac{1}{2} \sin(a+b) + \frac{1}{2} \sin(a