Identifique o tipo de indeterminação e calcule os seguintes limites. 1. lim _(xarrow infty )(sqrt (x^2+2x)-sqrt (x^2-3x)) 2 lim _(xarrow 0)(1+3x)^(1)/(x)

Vamos corrigir e detalhar os cálculos dos limites fornecidos:<br /><br />1. $\lim _{x\rightarrow \infty }(\sqrt {x^{2}+2x}-\sqrt {x^{2}-3x})$<br /><br />Para resolver esse limite, podemos racionalizar a expressão multiplicando e dividindo pelo conjugado:<br /><br />\[<br />\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2 - 3x} \right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2 - 3x}}{\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2 - 3x}}<br />\]<br /><br />Isso nos leva a:<br /><br />\[<br />\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + 2x) - (x^2 - 3x)}{\sqrt{x^2 + 2x} +{x^2 - 3x}}<br />\]<br /><br />Simplificando o numerador:<br /><br />\[<br />\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x - x^2 + 3x}{\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2 - 3x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x}{\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2 - 3x}}<br />\]<br /><br />Como \(x \to \infty\), podemos fatorar \(x\) fora das raízes:<br /><br />\[<br />\lim_{x \to \infty} \frac{5x}{x \left( \sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 - \frac{3}{x}} \right)} = \lim_{x \to \infty} \frac{5}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 - \frac{3}{x}}}<br />\]<br /><br />Quando \(x \to \infty\), \(\frac{2}{x} \to 0\) e \(\frac{3}{x} \to 0\), então:<br /><br />\[<br />\lim_{x \to \infty} \frac{5}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}} = \frac{5}{1 + 1} = \frac{5}{2}<br />\]<br /><br />Portanto, o limite é \(\frac{5}{2}\).<br /><br />2. $\lim _{x\rightarrow 0}(1+3x)^{\frac {1}{x}}$<br /><br />Para resolver esse limite, podemos usar a definição de expoente e a fórmula de Euler:<br /><br />\[<br />\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} = \exp \left( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} \right)<br />\]<br /><br />Usando a aproximação linear \(\ln(1 + y) \approx y\) para \(y \to 0\):<br /><br />\[<br />\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} \approx \lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = 3<br />\]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[<br />\exp(3) = e^3<br />\]<br /><br />Assim, o limite é \(e^3\).