5) Considere a função f(x,y)=6xy e a região retangular R=[0,1]times [1,2] Assinale a alternativa que contém a integral dupla da função f(x,y) sobre a região R. Alternativas: a) 1 b) 1,5 C 3 d) 3,5 e) 4,5

Para calcular a integral dupla da função \( f(x,y) = 6xy \) sobre a região \( R = [0,1] \times [1,2] \), precisamos integrar a função em relação a \( x \) e \( y \) nas limitações dadas.<br /><br />A integral dupla é dada por:<br /><br />\[ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} 6xy \, dx \, dy \]<br /><br />Primeiro, integramos em relação a \( x \):<br /><br />\[ \int_{0}^{1} 6xy \, dx = 6y \int_{0}^{1} x \, dx = 6y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 6y \cdot \frac{1}{2} = 3y \]<br /><br />Agora, integramos em relação a \( y \):<br /><br />\[ \int_{1}^{2} 3y \, dy = 3 \int_{1}^{2} y \, dy = 3 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{2} = 3 \cdot \frac{1}{2} (4 - 1) = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \]<br /><br />Portanto, a integral dupla da função \( f(x,y) = 6xy \) sobre a região \( R \) é 4,5.<br /><br />A alternativa correta é:<br />e) 4,5