. Sabendo que Delta S=v_(0)t+(at^2)/(2) e t=(v-v_(0))/(a) mostre que 2aDelta S=v^2-v_(0)^2 . (Essa é a Equação de Torricelli, de Cinemática.)

Vamos começar substituindo a expressão de \( t \) na equação de \( \Delta S \):<br /><br />\[ \Delta S = v_0 t + \frac{at^2}{2} \]<br /><br />Substituindo \( t = \frac{v - v_0}{a} \):<br /><br />\[ \Delta S = v_0 \left( \frac{v - v_0}{a} \right) + \frac{a}{2} \left( \frac{v - v_0}{a} \right)^2 \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ \Delta S = \frac{v_0 (v - v_0)}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{(v - v_0)^2}{a^2} \]<br /><br />\[ \Delta S = \frac{v_0 (v - v_0)}{a} + \frac{(v - v_0)^2}{2a} \]<br /><br />Agora, vamos combinar os termos:<br /><br />\[ \Delta S = \frac{2v_0 (v - v_0)}{2a} + \frac{(v - v_0)^2}{2a} \]<br /><br />\[ \Delta S = \frac{2v_0 (v - v_0) + (v - v_0)^2}{2a} \]<br /><br />\[ \Delta S = \frac{(v - v_0) (2v_0 + v - v_0)}{2a} \]<br /><br />\[ \Delta S = \frac{(v - v_0) (v)}{2a} \]<br /><br />\[ \Delta S = \frac{v(v - v_0)}{2a} \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 2a:<br /><br />\[ 2a \Delta S = v(v - v_0) \]<br /><br />Portanto, a Equação de Torricelli é confirmada:<br /><br />\[ 2a \Delta S = v^2 - v_0^2 \]<br /><br />Isso mostra que a equação de Torricelli é válida, relacionando a variação de posição \( \Delta S \) com a velocidade inicial \( v_0 \), a aceleração \( a \) e a velocidade final \( v \).