Pergunta

b) 1^3+2^3+3^3+ldots n^3=(n^2 cdot(n+1)^2)/(4), forall n in mathbb(N)
Solução

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MuriloMestre · Tutor por 5 anos
Responder
fórmula dada é correta. Ela afirma que a soma dos cubos dos primeiros n números naturais é igual a \(\frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4}\), para qualquer número natural n.<br /><br />Para entender por que essa fórmula é verdadeira, podemos usar uma prova por indução matemática.<br /><br />Base da indução: Para n = 1, temos \(1^{3} = \frac{1^{2} \cdot(1+1)^{2}}{4}\), que é verdadeiro.<br /><br />Hipótese de indução: Supomos que a fórmula é verdadeira para algum número natural k, ou seja, \(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots k^{3}=\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}\).<br /><br />Passo de indução: Queremos mostrar que a fórmula também é verdadeira para k+1, ou seja, \(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots k^{3}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\).<br /><br />Substituindo a hipótese de indução na equação acima, temos:<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2} \cdot(k+2)^{2}}{4}\)<br /><br />\(\frac{k^{2} \cdot(k+1)^{2
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