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Matemática
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3) Calcule os limites abaixo unando a regna de L'Hospital. a) lim _(x arrow 2) (x^2-4 x+4)/(x^2)-x-2 b) lim _(x arrow 0) (x^2+6 x)/(x^3)+7 x^(2+5 x) c) lim _(x arrow-1) (x^2-1)/(x^2)+4 x+3 d) lim _(x arrow+infty) (2 x+3)/(5 x+4) e) lim _(x arrow+infty) (e^x)/(x)

Pergunta

3) Calcule os limites abaixo unando a regna de L'Hospital.
a) lim _(x arrow 2) (x^2-4 x+4)/(x^2)-x-2 
b) lim _(x arrow 0) (x^2+6 x)/(x^3)+7 x^(2+5 x) 
c) lim _(x arrow-1) (x^2-1)/(x^2)+4 x+3 
d) lim _(x arrow+infty) (2 x+3)/(5 x+4) 
e) lim _(x arrow+infty) (e^x)/(x)

3) Calcule os limites abaixo unando a regna de L'Hospital. a) lim _(x arrow 2) (x^2-4 x+4)/(x^2)-x-2 b) lim _(x arrow 0) (x^2+6 x)/(x^3)+7 x^(2+5 x) c) lim _(x arrow-1) (x^2-1)/(x^2)+4 x+3 d) lim _(x arrow+infty) (2 x+3)/(5 x+4) e) lim _(x arrow+infty) (e^x)/(x)

Solução

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ReinaldoMestre · Tutor por 5 anos

Responder

a) Para calcular o limite \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4 x+4}{x^{2}-x-2} \), podemos usar a regra de L'Hospital. Primeiro, vamos verificar se o limite é indeterminado. Substituindo \( x = 2 \) no numerador e no denominador, obtemos \( \frac{0}{0} \), que é uma forma indeterminada. Agora, podemos aplicar a regra de L'Hospital, que nos diz que podemos tomar a derivada do numerador e do denominador separadamente. A derivada do numerador é \( 2x - 4 \) e a derivada do denominador é \( 2x - 1 \). Portanto, o limite se torna \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2x - 4}{2x - 1} \). Substituindo \( x = 2 \) novamente, obtemos \( \frac{0}{3} = 0 \). Portanto, o limite é igual a 0.<br /><br />b) Para calcular o limite \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+6 x}{x^{3}+7 x^{2}+5 x} \), podemos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador. O numerador pode ser fatorado como \( x(x + 6) \) e o denominador pode ser fatorado como \( x(x^2 + 7x + 5) \). Agora, podemos cancelar o fator \( x \) no numerador e no denominador, resultando em \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x + 6}{x^2 + 7x + 5} \). Quando \( x \) tende a 0, o numerador tende a 6 e o denominador tende a 5. Portanto, o limite é igual a \( \frac{6}{5} \).<br /><br />c) Para calcular o limite \( \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-1}{x^{2}+4 x+3} \), podemos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador. O numerador pode ser fatorado como \( (x - 1)(x + 1) \) e o denominador pode ser fatorado como \( (x + 1)(x + 3) \). Agora, podemos cancelar o fator \( x + 1 \) no numerador e no denominador, resultando em \( \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x - 1}{x + 3} \). Quando \( x \) tende a -1, o numerador tende a -2 e o denominador tende a 2. Portanto, o limite é igual a \( \frac{-2}{2} = -1 \).<br /><br />d) Para calcular o limite \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x+3}{5 x+4} \), podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por \( x \). Isso nos dá \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{5 + \frac{4}{x}} \). Quando \( x \) tende a \( +\infty \), \( \frac{3}{x} \) tende a 0 e \( \frac{4}{x} \) tende a 0. Portanto, o limite é igual a \( \frac{2}{5} \).<br /><br />e) Para calcular o limite \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x} \), podemos usar a regra de L'Hospital. Primeiro, vamos verificar se o limite é indeterminado. Substituindo \( x = +\infty \) no numerador e no denominador, obtemos \( \frac{+\infty}{+\infty} \), que é uma forma indeterminada. Agora, podemos aplicar a regra de L'Hospital, que nos diz que podemos tomar a derivada do numerador e do denominador separadamente. A derivada do numerador é \( e^x \) e a derivada do denominador é 1. Portanto, o limite se torna \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^x}{1} \). Quando \( x \) tende a \( +\infty \), \( e^x \) tende a \( +\infty \). Portanto, o limite é igual
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