Pergunta

int _(0)^(pi )/(6)cos(2t)dt
Solução

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AdrianoElite · Tutor por 8 anos
Responder
Para resolver a integral \(\int_{0}^{\frac{\pi}{ \cos(2t) \, dt\), podemos usar a técnica de integração direta.<br /><br />A integral de \(\cos(2t)\) é \(\frac{1}{2} \sin(2t)\). Portanto, podemos escrever:<br /><br />\[<br />\int \cos(2t) \, dt = \frac{1}{2} \sin(2t) + C<br />\]<br /><br />Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a \(\frac{\pi}{6}\):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(2t) \, dt = \left[ \frac{1}{2} \sin(2t) \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}<br />\]<br /><br />Substituindo os limites:<br /><br />\[<br />= \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2} \sin(0)<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{2} \sin(0)<br />\]<br /><br />Sabemos que \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) e \(\sin(0) = 0\):<br /><br />\[<br />= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{\sqrt{3}}{4}<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta é \(\frac{\sqrt{3}}{4}\).
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