Sabendo que a integral de linha é dada por int _(C)(x^2+y^2)ds , onde Cé parametrizad x(t)=2cost,y(t)=2sent e 0leqslant tleqslant 2pi , calcule e assinale a alternativa correta. D as: int _(c)^af(x,y)ds=int _(a)^bf(x(t),y(t))sqrt ([x'(t)]^2+[y'(t)]^2)dt A 8.pi (B) 8pi +1 Salvo pela última vez 22:46:28 Filtro de questões (4)

Para calcular a integral de linha dada por $\int _{C}(x^{2}+y^{2})ds$, onde C é parametrizada por $x(t)=2\cos(t)$, $y(t)=2\sin(t)$ e $0\leqslant t\leqslant 2\pi$, podemos usar a fórmula da integral de linha em coordenadas paramétricas:<br /><br />$\int _{C}f(x,y)ds=\int _{a}^{b}f(x(t),y(t))\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}dt$<br /><br />Neste caso, temos $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$, $x(t)=2\cos(t)$ e $y(t)=2\sin(t)$. Vamos calcular a derivada de $x(t)$ em relação a $t$:<br /><br />$x'(t)=-2\sin(t)$<br /><br />E a derivada de $y(t)$ em relação a $t$:<br /><br />$y'(t)=2\cos(t)$<br /><br />Agora, podemos calcular a integral de linha:<br /><br />$\int _{C}(x^{2}+y^{2})ds=\int _{0}^{2\pi}(2\cos(t)^{2}+2\sin(t)^{2})\sqrt {(-2\sin(t))^{2}+(2\cos(t))^{2}}dt$<br /><br />Simplificando a expressão dentro da raiz quadrada:<br /><br />$\int _{C}(x^{2}+y^{2})ds=\int _{0}^{2\pi}(2)\sqrt {4\sin(t)^{2}+4\cos(t)^{2}}dt$<br /><br />$\int _{C}(x^{2}+y^{2})ds=\int _{0}^{2\pi}(2)\sqrt {4(\sin(t)^{2}+\cos(t)^{2})}dt$<br /><br />$\int _{C}(x^{2}+y^{2})ds=\int _{0}^{2\pi}(2)\sqrt {4}dt$<br /><br />$\int _{C}(x^{2}+y^{2})ds=\int _{0}^{2\pi}(2)(2)dt$<br /><br />$\int _{C}(x^{2}+y^{2})ds=\int _{0}^{2\pi}(4)dt$<br /><br />Agora, podemos calcular a integral:<br /><br />$\int _{C}(x^{2}+y^{2})ds=4\int _{0}^{2\pi}dt$<br /><br />$\int _{C}(x^{2}+y^{2})ds=4[t]_{0}^{2\pi}$<br /><br />$\int _{C}(x^{2}+y^{2})ds=4(2\pi-0)$<br /><br />$\int _{C}(x^{2}+y^{2})ds=8\pi$<br /><br />Portanto, a alternativa correta é a letra A: $8\pi$.