Qual das funçōes abaixo é solução da equação diferencial y''+3y'=(3x-1)/(x^2) i. y=x^2 ii. y=e^x iii. y=x^-2 iv. y=3x^2 v. y=lnx ivev Apenas iii Apenas v ie iii i. is iv

Para resolver a equação diferencial dada, podemos utilizar o método da substituição. Vamos substituir $y' = u$ e $y'' = u'$.<br /><br />Assim, a equação diferencial se torna:<br /><br />$u' + 3u = \frac{3x-1}{x^{2}}$<br /><br />Agora, vamos encontrar uma solução particular para essa equação diferencial. Podemos observar que a função $\frac{3x-1}{x^{2}}$ pode ser simplificada para $\frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}}$. Portanto, a solução particular será da forma $u(x) = Ax + Bx^{2}$.<br /><br />Substituindo $u(x)$ na equação diferencial, temos:<br /><br />$Ax + Bx^{2} + 3Ax + 3Bx^{2} = \frac{3x-1}{x^{2}}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$(A + 3A)x + (B + 3B)x^{2} = \frac{3x-1}{x^{2}}$<br /><br />Comparando os coeficientes, temos:<br /><br />$4A = 3$ e $4B = -1$<br /><br />Portanto, $A = \frac{3}{4}$ e $B = -\frac{1}{4}$.<br /><br />Assim, a solução particular é $u(x) = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}x^{2}$.<br /><br />Agora, vamos encontrar uma solução geral para a equação diferencial. Podemos observar que a equação diferencial é uma equação diferencial linear de segundo grau homogênea. Portanto, a solução geral será da forma $y(x) = c_{1}e^{rx} + c_{2}xe^{rx}$, onde $c_{1}$ e $c_{2}$ são constantes a serem determinadas e $r$ é a raiz característica da equação característica.<br /><br />A equação característica é $r^{2} + 3r = 0$. Resolvendo essa equação, temos $r(r + 3) = 0$. Portanto, as raízes características são $r_{1} = 0$ e $r_{2} = -3$.<br /><br />Assim, a solução geral é $y(x) = c_{1} + c_{2}e^{-3x}$.<br /><br />Portanto, a solução geral da equação diferencial é $y(x) = c_{1} + c_{2}e^{-3x}$.<br /><br />Comparando as opções dadas, podemos ver que a única opção que satisfaz a solução geral é a opção iii) $y = x^{-2}$. Portanto, a resposta correta é a opção Apenas iii.