Linearizando a função f(x)=x^2cdot lnx ponto a=1 , obteremos a função: Answer

Para linearizar a função \( f(x) = x^2 \cdot \ln(x) \) no ponto \( a = 1 \), precisamos encontrar a aproximação linear dessa função em torno de \( x = 1 \). A aproximação linear é dada por:<br /><br />\[ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a) \]<br /><br />Primeiro, vamos calcular \( f(1) \):<br /><br />\[ f(1) = 1^2 \cdot \ln(1) = 0 \]<br /><br />Agora, precisamos encontrar a derivada de \( f(x) \):<br /><br />\[ f(x) = x^2 \cdot \ln(x) \]<br /><br />Usando a regra do produto, temos:<br /><br />\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x)) \]<br /><br />\[ f'(x) = 2x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} \]<br /><br />\[ f'(x) = 2x \cdot \ln(x) + x \]<br /><br />Agora, calculamos \( f'(1) \):<br /><br />\[ f'(1) = 2 \cdot 1 \cdot \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1 \]<br /><br />Portanto, a função linearizada em \( x = 1 \) é:<br /><br />\[ f(x) \approx 0 + 1 \cdot (x - 1) \]<br /><br />\[ f(x) \approx x - 1 \]<br /><br />Então, a função linearizada de \( f(x) = x^2 \cdot \ln(x) \) no ponto \( a = 1 \) é \( f(x) \approx x - 1 \).