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Matemática
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(b) int (3)/(x^2)sqrt (x^2-9)dx

Pergunta

(b) int (3)/(x^2)sqrt (x^2-9)dx

(b) int (3)/(x^2)sqrt (x^2-9)dx

Solução

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KauaneElite · Tutor por 8 anos

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Para resolver a integral \(\int \frac{3}{x^2 \sqrt{x^2 - 9}} \, dx\), podemos usar uma substituição adequada. Vamos fazer a substituição \( x = 3 \sec(\theta) \). Assim, \( dx = 3 \sec(\theta) \tan(\theta) \, d\theta \).<br /><br />Primeiro, substituímos \( x \) na expressão original:<br /><br />\[ x = 3 \sec(\theta) \]<br /><br />Então, \( x^2 = 9 \sec^2(\theta) \) e \( \sqrt{x^2 - 9} = \sqrt{9 \sec^2(\theta) - 9} = \sqrt{9 (\sec^2(\theta) - 1)} = \sqrt{9 \tan^2(\theta)} = 3 \tan(\theta) \).<br /><br />Agora, substituímos \( x \) e \( dx \) na integral:<br /><br />\[ \int \frac{3}{(3 \sec(\theta))^2 \cdot 3 \tan(\theta)} \cdot 3 \sec(\theta) \tan(\theta) \, d\theta \]<br /><br />Simplificando a expressão:<br /><br />\[ \int \frac{3}{9 \sec^2(\theta) \cdot 3 \tan(\theta)} \cdot 3 \sec(\theta) \tan(\theta) \, d\theta \]<br /><br />\[ = \int \frac{3}{27 \sec^2(\theta) \tan(\theta)} \cdot 3 \sec(\theta) \tan(\theta) \, d\theta \]<br /><br />\[ = \int \frac{9 \sec(\theta) \tan(\theta)}{27 \sec^2(\theta) \tan(\theta)} \, d\theta \]<br /><br />\[ = \int \frac{1}{3 \sec(\theta)} \, d\theta \]<br /><br />\[ = \int \frac{\cos(\theta)}{3} \, d\theta \]<br /><br />\[ = \frac{1}{3} \int \cos(\theta) \, d\theta \]<br /><br />\[ = \frac{1}{3} \sin(\theta) + C \]<br /><br />Finalmente, substituímos de volta \( \theta = \sec^{-1}(x/3) \):<br /><br />\[ \sin(\sec^{-1}(x/3)) = \sqrt{1 - \cos^2(\sec^{-1}(x/3))} = \sqrt{1 - \frac{9}{x^2}} = \frac{3}{x} \]<br /><br />Portanto, a integral é:<br /><br />\[ \int \frac{3}{x^2 \sqrt{x^2 - 9}} \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} + C = \frac{1}{x} + C \]<br /><br />onde \( C \) é a constante de integração.
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