Prove que, para todo pin N , tem-se lim _(narrow infty )sqrt [n+p](n)=1

Para provar que, para todo \( p \in \mathbb{N} \), tem-se \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n+p]{n} = 1\), vamos analisar a expressão \(\sqrt[n+p]{n}\).<br /><br />Podemos reescrever \(\sqrt[n+p]{n}\) como \( n^{1/(n+p)} \).<br /><br />Queremos mostrar que \(\lim_{n \to \infty} n^{1/(n+p)} = 1\).<br /><br />Para isso, vamos usar a propriedade de que, para qualquer número positivo \( a \) e qualquer número positivo \( x \), temos \(\lim_{n \to \infty} a^{1/n} = 1\).<br /><br />Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:<br /><br />\(\lim_{n \to \infty} n^{1/(n+p)} = \lim_{n \to \infty} (n^p)^{1/(n \cdot p)}\).<br /><br />Como \( n^p \) é um número positivo, podemos aplicar a propriedade mencionada anteriormente:<br /><br />\(\lim_{n \to \infty} (n^p)^{1/(n \cdot p)} = 1\).<br /><br />Portanto, \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n+p]{n} = 1\), o que prova a afirmação.