1. Prove que fixado 0lt vert qvert lt 1 considerando a sequencia (x_(n)) cujo termo geral é x_(n)=sum _(j=0)^nq^j tem-se lim _(narrow infty )x_(n)=(1)/(1-q)

Para provar que $\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{1-q}$, vamos analisar a sequência $(x_n)$, onde $x_n = \sum_{j=0}^{n} q^j$.<br /><br />Primeiro, vamos reescrever a soma em termos de uma expressão mais simples. Podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica finita:<br /><br />$x_n = \sum_{j=0}^{n} q^j = \frac{q^0(1-q^{n+1})}{1-q} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$<br /><br />Agora, vamos analisar o limite de $x_n$ quando $n$ tende ao infinito. Para isso, vamos considerar o limite de $x_n$ quando $n$ tende ao infinito:<br /><br />$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$<br /><br />Como $0 < |q| < 1$, sabemos que $q^{n+1}$ tende a 0 quando $n$ tende ao infinito. Portanto, podemos escrever:<br /><br />$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1-0}{1-q} = \frac{1}{1-q}$<br /><br />Portanto, concluímos que $\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{1-q}$.