Pergunta

23) Dados os vetores overrightarrow (u)=(1,1,1) e overrightarrow (v)=(x,-1,1) pede-se determinar x real para que sen (u,v)=(sqrt (3))/(2)
Solução

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HugoProfissional · Tutor por 6 anos
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Para determinar o valor de \( x \) que torna o seno do ângulo entre os vetores \( \overrightarrow{u} \) e \( \overrightarrow{v} \) igual a \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), podemos usar a fórmula do produto escalar:<br /><br />\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\| \cdot \cos(\theta) \]<br /><br />Onde \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \) é o produto escalar entre \( \overrightarrow{u} \) e \( \overrightarrow{v} \), \( \|\overrightarrow{u}\| \) e \( \|\overrightarrow{v}\| \) são as normas dos vetores \( \overrightarrow{u} \) e \( \overrightarrow{v} \), e \( \cos(\theta) \) é o cosseno do ângulo entre eles.<br /><br />Primeiro, calculamos o produto escalar:<br /><br />\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (1 \cdot x) + (1 \cdot -1) + (1 \cdot 1) = x - 1 + 1 = x \]<br /><br />Em seguida, calculamos as normas dos vetores:<br /><br />\[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \]<br /><br />\[ \|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{x^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 2} \]<br /><br />Agora, substituímos esses valores na fórmula do produto escalar:<br /><br />\[ x = \sqrt{3} \cdot \sqrt{x^2 + 2} \cdot \cos(\theta) \]<br /><br />Dado que \( \cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), temos:<br /><br />\[ x = \sqrt{3} \cdot \sqrt{x^2 + 2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ x = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x^2 + 2} \]<br /><br />Elevando ambos os lados ao quadrado:<br /><br />\[ x^2 = \frac{9}{4}22) \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 4:<br /><br />\[ 4x^2 = 9(x^2 + 2) \]<br /><br />\[ 4x^2 = 9x^2 + 18 \]<br /><br />\[ 4x^2 - 9x^2 = 18 \]<br /><br />\[ -5x^2 = 18 \]<br /><br />\[ x^2 = -\frac{18}{5} \]<br /><br />Como \( x^2 \) não pode ser negativo, não há solução real para \( x \) que satisfaça a condição dada. Portanto, não existe valor real de \( x \) que torne o seno do ângulo entre \( \overrightarrow{u} \) e \( \overrightarrow{v} \) igual a \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
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