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5. Calcule o volume dos solidos de revolução das regioes indicadas em torno do eixo Y. (a) f(x)=4+3x-x^2comxin [0,2]

Pergunta

5. Calcule o volume dos solidos de revolução das regioes indicadas em torno do eixo Y.
(a) f(x)=4+3x-x^2comxin [0,2]

5. Calcule o volume dos solidos de revolução das regioes indicadas em torno do eixo Y. (a) f(x)=4+3x-x^2comxin [0,2]

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ValdirElite · Tutor por 8 anos

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Para calcular o volume dos sólidos de revolução das regiões indicadas em torno do eixo Y, podemos usar o método dos discos ou anéis.<br /><br />No caso da função \(f(x) = 4 + 3x - x^2\) com \(x \in [0, 2]\), podemos calcular o volume usando o método dos discos.<br /><br />O volume \(V\) é dado por:<br /><br />\[ V = \pi \int_{0}^{2} (4 + 3x - x^2)^2 \, dx \]<br /><br />Primeiro, vamos expandir a função \(f(x)\):<br /><br />\[ (4 + 3x - x^2)^2 = 16 + 24x - 12x^2 + x^4 \]<br /><br />Agora, integramos cada termo separadamente:<br /><br />\[ \int_{0}^{2} 16 \, dx = 16x \Big|_{0}^{2} = 32 \]<br /><br />\[ \int_{0}^{2} 24x \, dx = 12x^2 \Big|_{0}^{2} = 48 \]<br /><br />\[ \int_{0}^{2} -12x^2 \, dx = -4x^3 \Big|_{0}^{2} = -32 \]<br /><br />\[ \int_{0}^{2} x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \Big|_{0}^{2} = \frac{32}{5} \]<br /><br />Somando todos os termos, obtemos:<br /><br />\[ V = \pi (32 + 48 - 32 + \frac{32}{5}) = \pi \cdot \frac{160}{5} = 32\pi \]<br /><br />Portanto, o volume dos sólidos de revolução das regiões indicadas em torno do eixo Y é \(32\pi\).
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