5. (1,0 pts)Mostre que a equação a seguir possui uma raiz no intervalo (-1,3) x^4-3x^3-5x+2=0

Para mostrar que a equação \(x^{4}-3x^{3}-5x+2=0\) possui uma raiz no intervalo \((-1,3)\), podemos usar o Teorema dos Valores Intermediários.<br /><br />Primeiro, vamos calcular o valor da função \(f(x) = x^{4}-3x^{3}-5x+2\) nos pontos extremos do intervalo, ou seja, em \(x = -1\) e \(x = 3\).<br /><br />Para \(x = -1\):<br />\(f(-1) = (-1)^{4} - 3(-1)^{3} - 5(-1) + 2 = 1 + 3 + 5 + 2 = 11\)<br /><br />Para \(x = 3\):<br />\(f(3) = (3)^{4} - 3(3)^{3} - 5(3) + 2 = 81 - 81 - 15 + 2 = -13\)<br /><br />Agora, vamos analisar o sinal da função \(f(x)\) nos pontos extremos:<br /><br />- Para \(x = -1\), \(f(-1) = 11 > 0\)<br />- Para \(x = 3\), \(f(3) = -13 < 0\)<br /><br />Como a função \(f(x)\) muda de sinal entre \(x = -1\) e \(x = 3\), podemos concluir que a equação \(x^{4}-3x^{3}-5x+2=0\) possui pelo menos uma raiz no intervalo \((-1,3)\), de acordo com o Teorema dos Valores Intermediários.