1) Data: 07102/2025 Considers os vetores u=(1,2,-1)ev=(6,4,2) Mostre que w=(9,2,7) é uma combinação linear de u e v e que w'=(4,-1,8) ev. linear de u __

Para mostrar que o vetor \( w = (9, 2, 7) \) é uma combinação linear dos vetores \( u = (1, 2, -1) \) e \( v = (6, 4, 2) \), precisamos encontrar escalares \( a \) e \( b \) tais que \( w = a \cdot u + b \cdot v \).<br /><br />Vamos resolver o sistema de equações resultante das componentes de \( w \):<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />a + 6b = 9 \\<br />2a + 4b = 2 \\<br />- a + 2b = 7<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Primeiro, vamos simplificar o sistema. Começamos pela segunda equação:<br /><br />\[<br />2a + 4b = 2 \implies a + 2b = 1 \quad \text{(dividindo toda a equação por 2)}<br />\]<br /><br />Agora temos o sistema:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />a + 6b = 9 \\<br />a + 2b = 1 \\<br />- a + 2b = 7<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Subtraímos a terceira equação da segunda:<br /><br />\[<br />(a + 2b) - (-a + 2b) = 1 - 7 \implies 2a = -6 \implies a = -3<br />\]<br /><br />Substituímos \( a = -3 \) na segunda equação:<br /><br />\[<br />-3 + 2b = 1 \implies 2b = 4 \implies b = 2<br />\]<br /><br />Portanto, \( w = -3 \cdot u + 2 \cdot v \).<br /><br />Agora, vamos verificar se \( w' = (4, -1, 8) \) é uma combinação linear de \( u \) e \( v \). Precisamos encontrar escalares \( c \) e \( d \) tais que \( w' = c \cdot u + d \cdot v \).<br /><br />Vamos resolver o sistema de equações resultante das componentes de \( w' \):<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />c + 6d = 4 \\<br />2c + 4d = -1 \\<br />- c + 2d = 8<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Primeiro, vamos simplificar o sistema. Começamos pela segunda equação:<br /><br />\[<br />2c + 4d = -1 \implies c + 2d = -\frac{1}{2} \quad \text{(dividindo toda a equação por 2)}<br />\]<br /><br />Agora temos o sistema:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />c + 6d = 4 \\<br />c + 2d = -\frac{1}{2} \\<br />- c + 2d = 8<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Somamos a segunda e a terceira equação:<br /><br />\[<br />(c + 2d) + (-c + 2d) = -\frac{1}{2} + 8 \implies 4d = \frac{15}{2} \implies d = \frac{15}{8}<br />\]<br /><br />Substituímos \( d = \frac{15}{8} \) na segunda equação:<br /><br />\[<br />c + 2 \cdot \frac{15}{8} = -\frac{1}{2} \implies c + \frac{15}{4} = -\frac{1}{2} \implies c = -\frac{1}{2} - \frac{15}{4} = -\frac{23}{4}<br />\]<br /><br />Portanto, \( w' = -\frac{23}{4} \cdot u + \frac{15}{8} \cdot v \).<br /><br />Concluímos que \( w' \) é uma combinação linear de \( u \) e \( v \).