2) Calcule r(t) sabendo que r'(t)=cos(3t+1)i+sqrt [3](t)j+6t^2k

Para calcular a função \( r(t) \), precisamos integrar a derivada \( r'(t) \) em relação a \( t \). Vamos calcular a integral de cada componente separadamente:<br /><br />\[<br />\begin{align*}<br />r(t) &= \int r'(t) \, dt \\<br />&= \int \left( \cos(3t+1)i + \sqrt[3]{t}j + 6t^2k \right) \, dt \\<br />&= \int \cos(3t+1) \, dt \, i + \int \sqrt[3]{t} \, dt \, j + \int 6t^2 \, dt \, k<br />\end{align*}<br />\]<br /><br />Agora, vamos calcular cada integral separadamente:<br /><br />1. \(\int \cos(3t+1) \, dt \, i\):<br /> Usando a substituição \( u = 3t+1 \), temos \( du = 3 \, dt \) ou \( dt = \frac{du}{3} \). Assim, a integral se torna:<br /> \[<br /> \int \cos(u) \cdot \frac{du}{3} \, i = \frac{1}{3} \int \cos(u) \, du \, i = \frac{1}{3} \sin(u) \, i = \frac{1}{3} \sin(3t+1) \, i<br /> \]<br /><br />2. \(\int \sqrt[3]{t} \, dt \, j\):<br /> Usando a substituição \( u = t^{1/3} \), temos \( du = \frac{1}{3}t^{-2/3} \, dt \) ou \( dt = 3u^2 \, du \). Assim, a integral se torna:<br /> \[<br /> \int u \cdot 3u^2 \, du \, j = 3 \int u^3 \, du \, j = 3 \cdot \frac{u^4}{4} \, j = \frac{3}{4} t^{4/3} \, j<br /> \]<br /><br />3. \(\int 6t^2 \, dt \, k\):<br /> \[<br /> \int 6t^2 \, dt \, k = 6 \cdot \frac{t^3}{3} \, k = 2t^3 \, k<br /> \]<br /><br />Agora, somamos os resultados das integrais:<br /><br />\[<br />r(t) = \frac{1}{3} \sin(3t+1) \, i + \frac{3}{4} t^{4/3} \, j + 2t^3 \, k + C<br />\]<br /><br />onde \( C \) é a constante de integração. Portanto, a função \( r(t) \) é:<br /><br />\[<br />r(t) = \frac{1}{3} \sin(3t+1) \, i + \frac{3}{4} t^{4/3} \, j + 2t^3 \, k + C<br />\]