Pergunta
Admita as matrizes A = A=[} 5&2 7&3 ] e B=[} -26&18 -36&25 ] . Então, a única matriz X quadrada I de ordem dois tal que AX=BA 6 A ) [} -3&2 1&0 ] B [} -3&1 2&0 ] B C ) [} -3&0 1&2 ] D [} -2&3 1&0 ] D E [} -2&0 3&1 ] E
Solução
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JúlioProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
Para encontrar a matriz X que satisfaça a equação AX = BA, podemos usar o método de eliminação de Gauss-Jordan.<br /><br />Primeiro, vamos calcular o produto das matrizes A e B:<br /><br />$AB = [\begin{matrix} 5&2\\ 7&3\end{matrix} ] \cdot [\begin{matrix} -26&18\\ -36&25\end{matrix} ] = [\begin{matrix} -130-72&90+50\\ -182-108&126+75\end{matrix} ] = [\begin{matrix} -202&140\\ -290&201\end{matrix} ]$<br /><br />Agora, vamos calcular a matriz A inversa (A^(-1)):<br /><br />$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)$<br /><br />Onde det(A) é o determinante da matriz A e adj(A) é a adjunta da matriz A.<br /><br />$\text{det}(A) = (5 \cdot 3) - (2 \cdot 7) = 15 - 14 = 1$<br /><br />$\text{adj}(A) = [\begin{matrix} 3&-2\\ -7&5\end{matrix} ]$<br /><br />Portanto, a matriz A inversa é:<br /><br />$A^{-1} = \frac{1}{1} \cdot [\begin{matrix} 3&-2\\ -7&5\end{matrix} ] = [\begin{matrix} 3&-2\\ -7&5\end{matrix} ]$<br /><br />Agora, podemos calcular a matriz X multiplicando a matriz A inversa pela matriz BA:<br /><br />$X = A^{-1} \cdot BA = [\begin{matrix} 3&-2\\ -7&5\end{matrix} ] \cdot [\begin{matrix} -202&140\\ -290&201\end{matrix} ] = [\begin{matrix} 3(-202)-2(-290)&3(140)-2(201)\\ -7(-202)+5(-290)&-7(140)+5(201)\end{matrix} ] = [\begin{matrix} -606+580&420-402\\ 1410-1450&-980+1005\end{matrix} ] = [\begin{matrix} -26&18\\ 4&25\end{matrix} ]$<br /><br />Portanto, a matriz X que satisfaça a equação AX = BA é:<br /><br />$X = [\begin{matrix} -26&18\\ 4&25\end{matrix} ]$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção A) $[\begin{matrix} -3&2\\ 1&0\end{matrix} ]$.
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