Pergunta

Q.1 (1.00) - 0 ponto "p"pertence à bissetriz dos quadrantes pares e tem como abscissa um n'úmero inteiro. A Área do triângulo formado por A(-4,-3),B(-1,3) e P mede 15 u.a. Quais as coordenadas do ponto P? __
Solução

4.0179 Voting

Ursula MariaProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
Para encontrar as coordenadas do ponto P, podemos usar a fórmula da área de um triângulo com vértices em coordenadas cartesianas.<br /><br />A fórmula da área é dada por:<br /><br />$A = \frac{1}{2} \cdot |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$<br /><br />Onde (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) são as coordenadas dos vértices do triângulo.<br /><br />No caso do triângulo formado pelos pontos A(-4,-3), B(-1,3) e P(xp, yp), podemos substituir essas coordenadas na fórmula da área:<br /><br />$15 = \frac{1}{2} \cdot |-4(3 - yp) + (-1)(yp - (-3)) + xp(-3 - 3)|$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$15 = \frac{1}{2} \cdot |-12 - 4yp + yp + 3 + 6xp|$<br /><br />$15 = \frac{1}{2} \cdot |-9 - 3yp + 6xp|$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos:<br /><br />$30 = |-9 - 3yp + 6xp|$<br /><br />Como o valor absoluto é sempre positivo ou zero, podemos considerar duas possibilidades:<br /><br />1) $-9 - 3yp + 6xp = 30$<br /><br />2) $-9 - 3yp + 6xp = -30$<br /><br />Vamos resolver a primeira equação:<br /><br />$-9 - 3yp + 6xp = 30$<br /><br />$6xp - 3yp = 39$<br /><br />$2xp - yp = 13$<br /><br />$y_p = 2x_p - 13$<br /><br />Como o ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes pares, sua abscissa é um número inteiro. Vamos verificar se essa condição é satisfeita para a equação $y_p = 2x_p - 13$.<br /><br />Substituindo $y_p = 2x_p - 13$ na equação $6xp - 3yp = 39$, obtemos:<br /><br />$6xp - 3(2x_p - 13) = 39$<br /><br />$6xp - 6x_p + 39 = 39$<br /><br />$6xp - 6x_p = 0$<br /><br />$0 = 0$<br /><br />Portanto, a equação é válida para qualquer valor inteiro de $x_p$.<br /><br />Agora, vamos resolver a segunda equação:<br /><br />$-9 - 3yp + 6xp = -30$<br /><br />$6xp - 3yp = -21$<br /><br />$2xp - yp = -$y_p = 2x_p - 7$<br /><br />Substituindo $y_p = 2x_p - 7$ na equação $6xp - 3yp = 39$, obtemos:<br /><br />$6xp - 3(2x_p - 7) = 39$<br /><br />$6xp - 6x_p + 21 = 39$<br /><br />$6xp - 6x_p = 18$<br /><br />$0 = 0$<br /><br />Portanto, a equação também é válida para qualquer valor inteiro de $x_p$.<br /><br />Portanto, as coordenadas do ponto P podem ser qualquer par (xp, yp) que satisfaça as equações $y_p = 2x_p - 13$ ou $y_p = 2x_p - 7$, onde $x_p$ é um número inteiro.
Clique para avaliar: