Solt f la fonction numérique définle par : f(x)=(3)/(x-2)+vert x+3vert 1- Déterminer l'ensemble de définition de g. 2- Etudier la continuité et la dérivabilité de g au point -3 3- Calculer la dérivée de g et donner son tableau de variation. 4- a) Montrer que la droite (D_(1)):y=x+3et(D_(2)):y=-x-3 sont des asymptotes obliques à la courbe (C_(f)) b) Montrer que (Delta ):x=2 est asymptote verticale à la courbe (C_(f)) c) Déterminer la position relative de (C_(f)) par rapport à (D_(1)) sur ]2;+infty [ et à la droite (D_(2)) sur ]-infty ;-3[ 5- Construire la courbe (c_(f)) dans le plan muni d'un repère (0,1,J) : Unité graphique 1cm 6-Soith la restriction de f sur [-3;0] a) Montrer que h est une bijection de [-3;0] sur un intervalle K_(1) que l'on précisera b) hest-elle dérivable au point -3 ? justifier c) Calculer h(-1) puis (h^-1)'(1) 7-a) Montrer que /réalise une bijection de [-4;-3] sur un intervalle K_(2) à déterminer b) Montrer que l'équation xin [-4;-3]f(x)=0 admet une solution unique alpha C) Donner un encadrement de a par deux decimaux et en déduire une valeur EXERCICE 6

1- L'ensemble de définition de la fonction \( f(x) \) est l'ensemble des réels tels que \( x \neq 2 \), c'est-à-dire \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \).<br /><br />2- La fonction \( f(x) \) est continue partout sauf en \( x = 2 \). Elle est dérivable partout sauf en \( x = 2 \).<br /><br />3- La dérivée de \( f(x) \) est \( f'(x) = -\frac{3}{(x-2)^2} + \frac{1}{x+3} \). Le tableau de variation de \( f(x) \) peut être construit en utilisant les informations sur les points critiques et les asymptotes.<br /><br />4- <br /> a) La droite \( (D_{1}) \) et \( (D_{2}) \) sont des asymptotes obliques à la courbe \( (C_{f}) \) car la fonction \( f(x) \) tend vers \( \pm \infty \) lorsque \( x \) tend vers \( \pm \infty \) et \( f(x) \) tend vers \( \pm \infty \) lorsque \( x \) tend vers \( \pm \infty \).<br /> b) La droite \( (\Delta) \) est une asymptote verticale à la courbe \( (C_{f}) \) car la fonction \( f(x) \) tend vers \( \pm \infty \) lorsque \( x \) tend vers 2.<br /> c) La courbe \( (C_{f}) \) est située au-dessus de la droite \( (D_{1}) \) sur \( ]2;+\infty[ \) et au-dessous de la droite \( (D_{2}) \) sur \( ]-\infty;-3[ \).<br /><br />5- La courbe \( (C_{f}) \) peut être construite en utilisant les informations sur les asymptotes et les points critiques.<br /><br />6- <br /> a) La restriction de \( f \) sur \( [-3;0] \) est \( h(x) = \frac{3}{x-2} + |x+3| \). Cette fonction est une bijection de \( [-3;0] \) sur l'intervalle \( [3, +\infty[ \).<br /> b) \( h(x) \) n'est pas dérivable en \( x = -3 \) car \( h(x) \) n'est pas définie en \( x = -3 \).<br /> c) \( h(-1) = 6 \) et \( (h^{-1})'(1) = \frac{1}{6} \).<br /><br />7- <br /> a) La fonction \( f(x) \) réalise une bijection de \( [-4;-3] \) sur l'intervalle \( [0, 3] \).<br /> b) L'équation \( x \in [-4;-3] \) et \( f(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \).<br /> c) Un encadrement de \( \alpha \) par deux décimaux est \( \alpha \in (-3.5, -3) \).