3. Mostre que se lim _(narrow infty )x_(n)=0e(y_(n)) é limitada, então lim _(narrow infty )x_(n)y_(n)=0

Vamos mostrar que se $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ e $\lim_{n \to \infty} y_n$ é limitada, então $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0$.<br /><br />Primeiro, vamos definir que $\lim_{n \to \infty} y_n = L$, onde $L$ é um número real finito. Isso significa que para qualquer $\epsilon > 0$, existe um número inteiro $N$ tal que para todos os $n \geq N$, temos $|y_n - L| < \epsilon$.<br /><br />Agora, vamos considerar $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$. Isso significa que para qualquer $\epsilon > 0$, existe um número inteiro $M$ tal que para todos os $n \geq M$, temos $|x_n| < \epsilon$.<br /><br />Vamos considerar o produto $x_n y_n$. Temos que $|x_n y_n| = |x_n| |y_n|$. Como $|x_n| < \epsilon$ para $n \geq M$ e $|y_n - L| < \epsilon$ para $n \geq N$, podemos escolher $\epsilon$ suficientemente pequeno para que $|x_n| |y_n| < \epsilon^2$ para $n \geq \max(M, N)$.<br /><br />Portanto, para $n \geq \max(M, N)$, temos $|x_n y_n| < \epsilon^2$, o que implica que $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0$.<br /><br />Assim, concluímos que se $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ e $\lim_{n \to \infty} y_n$ é limitada, então $\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0$.