Pergunta

2) Sejam AeB dois algarismos distintos na base decimal que satisfazem a operação: AB times AA BAAB Encontre AeB
Solução

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HernánElite · Tutor por 8 anos
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Para encontrar os valores de \( A \) e \( B \) que satisfazem a operação dada, vamos analisar a multiplicação:<br /><br />\[ AB \times AA = BAAB \]<br /><br />Vamos representar \( A \) e \( B \) como algarismos distintos na base decimal. Então, podemos escrever:<br /><br />\[ AB = 10A + B \]<br />\[ AA = 10A + A = 11A \]<br /><br />A multiplicação fica:<br /><br />\[ (10A + B) \times 11A = 110A^2 + 11AB \]<br /><br />E o resultado é:<br /><br />\[ 110A^2 + 11AB = 100A + 10B + A = 100A + 11A + B = 111A + B \]<br /><br />Para que isso seja igual a \( BAAB \):<br /><br />\[ 111A + B = 100B + 10A + A \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ 111A + B = 100B + 11A \]<br /><br />Subtraindo \( 11A \) de ambos os lados:<br /><br />\[ 100A + B = 100B \]<br /><br />Subtraindo \( B \) de ambos os lados:<br /><br />\[ 100A = 99B \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 99:<br /><br />\[ A = \frac{99B}{100} \]<br /><br />Como \( A \) e \( B \) são algarismos distintos, \( A \) deve ser um número inteiro e \( B \) deve ser um número inteiro entre 1 e 9. Vamos testar valores possíveis para \( B \):<br /><br />Se \( B = 1 \):<br /><br />\[ A = \frac{99 \times 1}{100} = 0.99 \]<br /><br />Isso não é válido, pois \( A \) deve ser um algarismo inteiro.<br /><br />Se \( B = 2 \):<br /><br />\[ A = \frac{99 \times 2}{100} = 1.98 \]<br /><br />Isso também não é válido.<br /><br />Se \( B = 3 \):<br /><br />\[ A = \frac{99 \times 3}{100} = 2.97 \]<br /><br />Isso também não é válido.<br /><br />Se \( B = 4 \):<br /><br />\[ A = \frac{99 \times 4}{100} = 3.96 \]<br /><br />Isso também não é válido.<br /><br />Se \( B = 5 \):<br /><br />\[ A = \frac{99 \times 5}{100} = 4.95 \]<br /><br />Isso também não é válido.<br /><br />Se \( B = 6 \):<br /><br />\[ A = \frac{99 \times 6}{100} = 5.94 \]<br /><br />Isso também não é válido.<br /><br />Se \( B = 7 \):<br /><br />\[ A = \frac{99 \times 7}{100} = 6.93 \]<br /><br />Isso também não é válido.<br /><br />Se \( B = 8 \):<br /><br />\[ A = \frac{99 \times 8}{100} = 7.92 \]<br /><br />Isso também não é válido.<br /><br />Se \( B = 9 \):<br /><br />\[ A = \frac{99 \times 9}{100} = 8.91 \]<br /><br />Isso também não é válido.<br /><br />Portanto, não há valores inteiros para \( A \) e \( B \) que satisfaçam a equação dada. Vamos revisar a equação original:<br /><br />\[ 10A + B \times 11A = 100B + 10A + A \]<br /><br />\[ 10A + 11B = 100B + 11A \]<br /><br />\[ 10A - 11A = 100B - 11B \]<br /><br />\[ -A = 89B \]<br /><br />Como \( A \) e \( B \) são algarismos distintos, não há solução válida para essa equação. Portanto, não há valores inteiros para \( A \) e \( B \) que satisfaçam a operação dada.
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