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Matemática
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ra Tonction f en 0.(On discutera suivant les valeurs du nombre neel al 21. Dans chacun des cas suivants, préciser I'ensemble de définition de/et determiner (s'll existe) le prolongement par continuité defen x_(0) a) f(x)=(2x^2-x-1)/(2x+1),x_(0)=-(1)/(2) b) f(x)=(x-sqrt (x))/(x),x_(0)=0 c) f(x)=(vert xvert )/(x),x=0 d) f(x)=(3x^2-7x+2)/(x^2)-3x+2,x_(0)=2

Pergunta

ra Tonction f en 0.(On discutera suivant les valeurs du nombre neel al
21. Dans chacun des cas suivants, préciser I'ensemble de définition de/et determiner (s'll existe) le
prolongement par continuité defen x_(0)
a) f(x)=(2x^2-x-1)/(2x+1),x_(0)=-(1)/(2)
b) f(x)=(x-sqrt (x))/(x),x_(0)=0
c) f(x)=(vert xvert )/(x),x=0
d) f(x)=(3x^2-7x+2)/(x^2)-3x+2,x_(0)=2

ra Tonction f en 0.(On discutera suivant les valeurs du nombre neel al 21. Dans chacun des cas suivants, préciser I'ensemble de définition de/et determiner (s'll existe) le prolongement par continuité defen x_(0) a) f(x)=(2x^2-x-1)/(2x+1),x_(0)=-(1)/(2) b) f(x)=(x-sqrt (x))/(x),x_(0)=0 c) f(x)=(vert xvert )/(x),x=0 d) f(x)=(3x^2-7x+2)/(x^2)-3x+2,x_(0)=2

Solução

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Julia MariaProfissional · Tutor por 6 anos

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a) Pour la fonction \( f(x) = \frac{2x^2 - x - 1}{2x + 1} \), l'ensemble de définition est l'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles le dénominateur n'est pas égal à zéro. Dans ce cas, le dénominateur est \( 2x + 1 \), donc \( x \neq -\frac{1}{2} \). Ainsi, l'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\} \).<br /><br />Pour déterminer le prolongement par continuité de \( f(x) \) en \( x_0 = -\frac{1}{2} \), nous devons trouver la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( -\frac{1}{2} \). En simplifiant l'expression de \( f(x) \), nous obtenons \( f(x) = 1 - \frac{2}{2x + 1} \). En prenant la limite lorsque \( x \) tend vers \( -\frac{1}{2} \), nous obtenons \( \lim_{x \to -\frac{1}{2}} f(x) = 1 \). Donc, le prolongement par continuité de \( f(x) \) en \( x_0 = -\frac{1}{2} \) est \( f(x) = 1 \).<br /><br />b) Pour la fonction \( f(x) = \frac{x - \sqrt{x}}{x} \), l'ensemble de définition est l'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles le dénominateur n'est pas égal à zéro. Dans ce cas, le dénominateur est \( x \), donc \( x \neq 0 \). Ainsi, l'ensemble de définition est \( \mathbb{R}^+ \).<br /><br />Pour déterminer le prolongement par continuité de \( f(x) \) en \( x_0 = 0 \), nous devons trouver la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 0 \). En simplifiant l'expression de \( f(x) \), nous obtenons \( f(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \). En la limite lorsque \( x \) tend vers \( 0 \), nous obtenons \( \lim_{x \to 0} f(x) = -\infty \). Donc, \( f(x) \) n'a pas de prolongement par continuité en \( x_0 = 0 \).<br /><br />c) Pour la fonction \( f(x) = \frac{|x|}{x} \), l'ensemble de définition est l'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles le dénominateur n'est pas égal à zéro. Dans ce cas, le dénominateur est \( x \), donc \( x \neq 0 \). Ainsi, l'ensemble de définition est \( \mathbb{R}^* \).<br /><br />Pour déterminer le prolongement par continuité de \( f(x) \) en \( x_0 = 0 \), nous devons trouver la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 0 \). En simplifiant l'expression de \( f(x) \), nous obtenons \( f(x) = \frac{|x|}{x} \). En prenant la limite lorsque \( x \) tend vers \( 0 \), nous obtenons \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \). Donc, le prolongement par continuité de \( f(x) \) en \( x_0 = 0 \) est \( f(x) = 1 \).<br /><br />d) Pour la fonction \( f(x) = \frac{3x^2 - 7x + 2}{x^2 - 3x + 2} \), l'ensemble de définition est l'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles le dénominateur n'est pas égal à zéro. Dans ce cas, le dénominateur est \( x^2 - 3x + 2 \), donc \( x \neq 1 \) et \( x \neq 2 \). Ainsi, l'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \setminus \{1, 2\} \).<br /><br />Pour déterminer le prolongement par continuité de \( f(x) \) en \( x_0 = 2 \),
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